(les deux figures sont assez longues à charger)

La première figure se propose de faire observer que pour tout point S (topologiquement bien placé pour que ABS soit une face dépliée) et tout point contraint eulement à A=AS, il y a toujours un patron de pyramide : la troisième face est bien entendu unique et le patron se referme correctement.

Si la figure propose une preuve plus conceptuelle, en pratique un travail - un peu fin pour une classe de 4° - autour de Pythagore permet d’aboutir à une preuve, mais ce n’est pas lobjet ici de cette activité.

Comme pour ces triangles qui, ayant trois côté égaux, n’ont pas assez de degré de liberté pour ne pas avoir les trois angles égaux, et aussi comme pour les losanges qui ne sont pas tous des carrés (et donc n’ont pas les angles égaux), cette situation sur les patrons est propre aux bases triangulaires.

On peut proposer une activité de découpage de faux patrons à des élèves pour expérimenter que la propriété n’est pas vraie pour une base à quatre côtés, l’expérimentation n’est pas toujours concluante, les élèves bombant la base, justifiant la forme non plate par des problèmes de colle etc, ... il peux être intéressant de proposer une modélisation comme celle-ci :

Dans la figure suivante on peut plier les faces adjacentes de deux façons différentes (pop-up menu) et même les côtés opposés (ce qui se fait en pratique rarement).

Bien entendu, parfois les faces sont perméables dans la fermeture de toutes les faces.

Un calcul élémentaire sur les longueurs en jeu (avec un candidat comme projection du sommet) montre que si et se rejoignent, cela entraine une position unique pour afin que la pyramide se referme. On peut aussi présenter des arguments géométriques sur les pliages.

Cette dernière argumentation peut être accompagnée d’une manipulation : cocher « tous les sommets » et déplacer pour que tous les sommets se confondent.

Un bonus géomérique : prolonger par des droites les côtés de la base quadrilatère, on vérifie une propriété particulière de la solution.

Compléments : d’autres patrons de pyramides de Eric Hakenholz, téléchargeables sur le site des diaporamas du site CaRMetal (diaporamas et choisir 4°). Voir aussi particulier la dernière figure avec la macro « face laterale » dans la figure elle-même. La diaporama La 3D au collège de Monique Gironce sur cette page de la galerie des utilisateurs.

Plus technique, deux tutoriaux sur la réalisation de ces patrons sont disponibles -et téléchargeables - sur la page des tutoriaux (en fin de page) du site général sur CaRMetal.

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