Épreuve pratique 2009, sujet 37

samedi 14 novembre 2009
par  Alain BUSSER

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Comme on calcule u_{n+1} à partir de v_n et v_{n+1} à partir de u_n, on a besoin de stocker u_n et v_n dans des variables temporaires (appeées u et v) :

Ce script produit le tableau suivant [1] :

voir le résultat

n u_n v_n
1 -1 -2
2 -1 -1
3 1 2
4 5 7
5 11 14
6 19 23
7 29 34
8 41 47
9 55 62
10 71 79
11 89 98
12 109 119
13 131 142
14 155 167
15 181 194
16 209 223
17 239 254
18 271 287
19 305 322
20 341 359

Conjectures

L’énoncé suggère que l’on extraie des informations sur les nuages de points. Le script précédent sera alors modifié en le suivant [2] :

Puis sur la figure avec les deux nuages de points, on crée 4 curseurs a, b, c et d, puis les fonctions

(a*x^2+b*x+1)/10
(c*x^2+d*x-1)/10

En effet, les paraboles, si paraboles il y a, passent nécessairement par les points de coordonnées (0 ;1) et (0 ;-1). Et il a été nécessaire de diviser les trinômes par 10 puisque les ordonnées des points des nuages sont elles-mêmes divisées par 10...

En manipulant les curseurs, on a peut-être la possibilité, qui sait, de faire passer les paraboles par les nuages de points de la même couleur qu’elles...

L’énoncé suggère aussi la possibilité de représenter les points de coordonnées (u_n;v_n) :

Comme les points semblent presque alignés, on essaye de trouver une droite passant presque par ces points, avec deux curseurs a et b :

ce qui ne mène pas à une conjecture exploitable.

Mais les deux nuages de points suggérent la possibilité que v_n-u_n soit une suite arithmétique, ce qu’on peut vérifier avec le script suivant :

voir le tableau

n u_n v_n v_n-u_n
1 -1 -2 -1
2 -1 -1 0
3 1 2 1
4 5 7 2
5 11 14 3
6 19 23 4
7 29 34 5
8 41 47 6
9 55 62 7
10 71 79 8
11 89 98 9
12 109 119 10
13 131 142 11
14 155 167 12
15 181 194 13
16 209 223 14
17 239 254 15
18 271 287 16
19 305 322 17
20 341 359 18

[1] bonus : il est fabriqué par CaRMetal au format spip ce qui permet de l’incorporer directement à cet article

[2] les ordonnées des points ont été divisées par 10 pour que les nuages de points ne soient pas trop verticaux.


Documents joints

la droite
la droite
les paraboles
les paraboles

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Brèves

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Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

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Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris