Avant de commencer, il serait souhaitable que chacun soit muni d’un petit bagage, adapté aux voyages en train et en avion. Pour cela nous vous invitons à visiter les sites wikipedia ici ou là, qui est plus complet mais en anglais.

Notre voyage commence lorsque l’idée m’est venue de mettre en place une sorte de narration de recherche grandeur nature pour des élèves volontaires du collège. Le problème choisi est donc la conjecture de Collatz. L’objectif est de faire chercher et faire rédiger un compte rendu des recherches en cours, de quelque résultats.

La méthode utilisée est alors de tester via un tableur, un maximum de valeurs, de visualiser les « vols », les altitudes maximales, espérant y trouver quelques régularités.

Les nombres premiers, les nombres parfaits, les multiples de 10, de 3, les nombres pairs ou impairs ne livrent aucun miracle.

Par contre l’algorithme semble accepter assez bien les entiers négatifs. Une étude statistique semble même nous montrer que les atterrissages sont possibles cette fois à trois altitudes, avec la même fréquence d’apparition 1/3 (il s’agit des altitudes -1 ; -5 et -17).

Nous avons alors élargi notre étude aux nombres réels, mais très vite nous nous sommes essoufflés. Il devenait très lassant d’entrer une ligne de nombres aléatoires, puis d’observer des colonnes de nombres ou des graphiques correspondant aux vols. Tout semble baigner dans un désordre aléatoire parfait !

Il devenait urgent de passer à un autre moyen de visualiser la suite des valeurs d’un nombre. Nous avons beaucoup travaillé sur le tableau blanc, puis sur une très grande feuille en papier. Il nous fallait construire à la main le début du graphe obtenu à partir de 1. Nous n’avons pas d’éditeur de graphes et c’est tant mieux. Cela nous a d’ailleurs permis de parler d’algorithme inverse (c’est surtout moi qui ai parlé là, je crois...). Mais le fait d’avoir à calculer les valeurs une à une, a obligé les élèves à bien comprendre comment « inverser » l’algorithme. Il ne s’agissait plus de « faire » 3x+1 quand x est impair, mais de faire (X-1)/3 quand X-1 est dans la table de 3... Une excellente gymnastique qui n’a pas été tout de suite maîtrisée.

Pour une raison inexpliquée, nous trouvions plus commode de ranger la suite des puissances de 2 horizontalement, et de faire ensuite « partir » les autres voies verticalement.

Une fois qu’on avait bien compris le principe des création des voies [1], et introduit au passage un vocabulaire s’inspirant non plus de l’aviation mais des chemins de fer, nous avons commencé à reproduire ce graphe en nous servant des lignes et des colonnes du tableur. Artisanal et maladroit, ce bricolage se révélera salutaire pour la suite. Le résultat se trouve dans le doc « visualisation en voies ferrées ».

Toujours dans notre souci de trouver quelques régularités ou répétitions, on a fini par remarquer une formule permettant d’anticiper une valeur [2]. L’avantage d’avoir fait ce graphe sur le tableur, c’est que les nombres sont clairement rangés sur des lignes et des colonnes. Des alignements apparaissent plus facilement. Des rythmes (« ça fait un sur deux en couleur » ) semblent s’imposer. Des arrangements en colonnes ou en lignes correspondent à des formules donnant des familles de nombres (c’est surtout moi qui assure cette partie algébrique pour l’instant pour plein de raisons évidentes ; je n’ai pas envie de transformer le club en séance sur les écritures algébriques)

Cependant, la construction de ce graphe n’est pas aisée, car l’aspect fractal vient enfin jouer son trouble-fête et nous oblige à une gymnastique d’espacement des colonnes qui n’est pas aisée et ne nous permet pas de visualiser clairement beaucoup de valeurs [3]. En plus il se fait « à la main », c’est-à-dire sans possibilité d’utiliser des formules. Artisanal et maladroit disais-je.

C’est pour éliminer cette contrainte d’espacement que l’on à continué à chercher une logique entre les nombres aiguillages et les nombres terminus.

Au retour des vacances de Janvier, après une longue pause, et une fois les machines en marche, l’arrangement des nombres nous est apparu assez évident, bien que cela ait été progressif. Il me semble que c’est en constatant que les nombres terminus semblaient tous impairs, et en observant comment les gares de la voie qui part (ou arrive) de ce terminus sont calculés : ils sont égaux au produit d’une puissance de 2 et du nombre terminus en question. L’exposant étant le numéro d’ordre de la gare sur cette voie, qui correspond au numéro de ligne d’un tableau. Bref, il devenait inutile de faire des espaces entre les colonnes pour visualiser les voies ferrées, les aiguillages et les terminus. Cela a donné le « tableau des correspondances ». Voir la pièce jointe.

Depuis nous prenons plaisir à jouer avec ce tableau qui nous offre enfin une vision (hyper) organisée des nombres entiers, aussi grands qu’on veut, tout en montrant clairement le vol d’un nombre, c’est-à-dire les différentes voies qu’il emprunte et les différentes gares qu’il traverse, jusqu’à 1 [4].

Nous travaillons également sur d’autres formulations de la conjecture de Collatz, notamment sur celle qui ne fait intervenir que les nombres aiguillages. La suite de ces nombres, qui se répartissent avec une régularité remarquable dans le tableau des correspondances, nous intéresse fortement. Ne nous permettrait-elle pas de prévoir l’altitude maximale, c’est-à-dire la taille de la plus grosse gare traversée ?

Je fais aussi finalement retrouver quelques formules (les plus simples) qui apparaissent via le tableau [5].

Et une élève m’a amené cette semaine, sur une clé, le graphe en arbre circulaire que son grand-frère, en terminale, lui a fait avec Graphviz. Zut, je vais devoir m’y coller...

Le voyage, j’espère, vous aura amusé autant que nous. Je tiens à féliciter mes élèves pour leur investissement et leur assiduité. Venir faire ce qu’ils font pendant la pause méridienne, je trouve ça remarquable. Mais la magie de cet algorithme y est sans doute pour quelque chose.