Pourquoi l’algorithmique ?

• Nécessité pour l’École de s’inscrire dans la société civile où les média sont omniprésents.
• L’utilisation des TIC devient une pratique incontournable de l’enseignant et de l’élève.
• La recherche en informatique fait partie des « mathématiques appliquées et applications des mathématiques ».
• Faire prendre conscience à l’élève que la technologie est le fruit d’un travail logique et rigoureux de l’Homme sous tendu par les mathématiques, et par voie de conséquence par l’informatique.

Recherches actuelles en algorithmique

De nombreuses recherches et problèmes mathématiques sont en inter-relation avec les recherches en algorithmique. Celles-ci concernent la complexité en moyenne et de nombreuses applications en ingénierie comme :

• • la téléphonie mobile,
  • le cryptage,
  • la compression d’image et de son,
  • les codes correcteurs,
  • Internet,
  • la recherche en bio-informatique sur l’identification et l’étude de codes dans les génomes et leur modélisation évolutive stochastique.

Beaucoup de colloques concernent les recherches de pointe en algorithmique.

Apports de l’algorithmique

• Faire appréhender à l’élève de façon différente certaines notions comme la logique, et par voie de conséquence développer l’esprit scientifique.
• Promouvoir l’égalité des chances pour tous les élèves puisqu’ils commencent l’algorithmique au même niveau sans le poids des lacunes antérieures.
• Donner un renouveau à la perception qu’ont les élèves de l’objet mathématique, l’aspect calculatoire n’étant pas au premier plan.
• Dans l’esprit du paradigme du « diviser pour régner » utilisé pour l’écriture d’un algorithme ou d’un programme, privilégier le travail de groupe.
• Faire de la pédagogie différenciée en demandant à certains élèves d’analyser un algorithme, d’en écrire de simples, et à d’autres, de faire ce même travail en demandant, en plus, de modifier l’algorithme de départ pour le rendre plus performant ou pour y ajouter des fonctionnalités.

Pourquoi la programmation ?

• Nombre d’élèves ont des difficultés car les mathématiques demandent des capacités d’abstraction non seulement au niveau des notions abordées mais aussi au niveau du de l’analyse du résultat obtenu, de sa signification.
• Pour écrire un algorithme, il faut d’abord décomposer toutes les étapes nécessaires à la résolution d’un problème, il faut ensuite rédiger rigoureusement sa résolution.
• Écrire un programme permet de vérifier concrètement que l’algorithme fonctionne.
• Si le programme ne tourne pas, son concepteur est confronté à lui-même, il cherche son erreur, il fait des tentatives successives de corrections jusqu’à ce que le programme donne le résultat attendu.
• Cela peut donc donner une place encore plus intéressante à l’expérimentation, et redonner aux élèves le goût de l’effort ; la satisfaction et la récompense étant bien concrètes.
• On est donc dans une réelle démarche de recherche.

Quel choix de logiciel ?

Extrait du document ressources : Les calculatrices graphiques programmables peuvent être exploitées grâce à leur commodité d’usage en classe entière. Cependant, leurs limites dues à leur petite taille et leur capacité mémoire incitent à proposer aux élèves des activités s’appuyant sur des logiciels utilisables sur ordinateur.

• Ceux utilisés dans ce document de l’Inspection Générale sont les logiciels des calculatrices TI et Casio, les logiciels Scratch, Scilab, Xcas, Python et Execalgo.
• Seuls Execalgo, Scratch, Scilab, et AlgoBox sur lesquels j’ai travaillé, seront présentés ici.

EXECALGO

• • C’est un logiciel gratuit, mais qui n’est pas libre ni multi-plateforme.
  • Dans un premier temps, je l’ai choisi car il est dédié à l’apprentissage de l’algorithmique puisqu’il a été crée par un groupe d’experts pour les élèves de 1L et TL qui suivent l’option mathématiques.
  • Très pédagogique, les instructions sont écrites en langage naturel, elles sont pré-écrites sur la fenêtre du programme, et il suffit de remplir avec des instructions chaque élément de la structure du programme, entrée : déclaration de variables et initialisation, traitement, et sortie.
  • Cependant, il a certains défauts qui paraissent rédhibitoires : il ne possède pas d’instruction « input », il gère mal les instructions conditionnelles (il faut pour cela utiliser des points de branchements), et il n’a pas de fenêtre graphique.
  • Il a été abandonné, en général, au profit d’AlgoBox.

SCRATCH

• • C’est un logiciel libre, gratuit, et multi-plateforme.
  • Il a été crée au départ, aux États-Unis, pour enseigner l’algorithmique et la programmation à des enfants de 7 ans.
  • Il a un côté très ludique puisqu’il y a un petit personnage sur la fenêtre, qui peut faire des mouvements grâce aux programmes que l’on écrit.
  • Il donne la possibilité d’exporter les algorithmes sur un site mutualisé.
  • Il permet de créer des animations, de petites vidéos auxquelles on peut également ajouter des sons.
  • Pour programmer avec Scratch, il faut déplacer de petites briques où les instructions sont pré-écrites, il n’y a pas à apprendre de syntaxe.
  • Les couleurs très vives de l’écriture du code peuvent en rebuter certains.
  • Ce n’est pas un logiciel de calcul scientifique, il ne connaît donc pas les règles de priorité, il faut donc décomposer toutes les opérations.

SCILAB LYCÉE

• • C’est aussi un logiciel libre, gratuit, et multi-plateforme qui a été reformaté pour le lycée à partir du logiciel Scilab.
  • Il est considéré comme une « super » calculatrice avec des possibilités de programmation assez importantes, création de fonctions comme sous-procédures d’un programme principal, affichages de graphiques, tirages aléatoires, suites…
  • Il est utilisé dans les classes préparatoires aux grandes écoles mais la syntaxe reste assez simple, plutôt synthétique.
  • La majorité des instructions sont en anglais, certaines comme afficher sont en français.
  • Ce n’est pas un logiciel de calcul formel, toute variable qui est entrée doit avoir une valeur numérique.
  • Les calculs sont des calculs matriciels, un nombre réel est considéré comme une matrice 1x1.

ALGOBOX

• • C’est un logiciel libre, multi-plateforme et gratuit.
  • Il a été crée pour aider à l’élaboration et à l’exécution d’algorithmes dans l’esprit du nouveau programme de seconde.
  • Le code de l’algorithme se construit pas à pas grâce à des instructions de base pré-écrites que l’on insère.
  • Tous les algorithmes peuvent être exécutés et testés en mode classique, ainsi qu’en mode pas à pas.
  • Des exemples d’algorithme sont fournis avec le programme.
  • En plus d’une sauvegarde classique, le code l’algorithme peut être imprimé et exporté sous forme de fichier texte, d’un document LaTeX, d’une page web dans laquelle il est possible de l’exécuter.
  • AlgoBox n’est pas un environnement complet de programmation, ses capacités en « programmation pure » sont donc limitées.
  • Démo
  • Tutoriel

Choix d’AlgoBox

Extrait du document ressources : Il faut avant tout éviter de confronter les élèves à des difficultés trop importantes ; en effet la classe de seconde est une classe de détermination et il ne s’agit pas d’y former des programmeurs mais de faire en sorte que les mathématiques et l’algorithmique soient au service d’activités de résolution de problèmes pour les sciences.

• Au niveau de la syntaxe, la programmation avec AlgoBox est très proche de l’écriture d’un algorithme sur papier, en pseudo-code.
• AlgoBox permet de ne pas ajouter à la difficulté d’apprentissage de l’algorithmique, la difficulté d’apprentissage de la syntaxe d’un langage de programmation.
• Le déroulement pas à pas est très intéressant au niveau pédagogique car cela est équivalent à faire tourner l’algorithme « à la main », la valeur de chaque variable étant affichée au fur et à mesure du déroulement de l’algorithme.
• AlgoBox permet donc d’être en conformité avec les objectifs et les exigences du programme de seconde sans rebuter la majorité des élèves qui ne passeront pas en section scientifique, et sans pénaliser ceux qui y passeront.

Compétences

Extrait du document ressources : Les compétences suivantes pourront être identifiées et travaillées :

• • comprendre et analyser un algorithme préexistant ;
  • modifier un algorithme pour obtenir un résultat particulier ;
  • analyser la situation : identifier les données d’entrée, de sortie, le traitement... ;
  • mettre au point une solution algorithmique : comment écrire un algorithme en langage courant en respectant un code, identifier les boucles, les tests, des opérations d’écriture, d’affichage... ;
  • valider la solution algorithmique par des traces d’exécution et des jeux d’essais simples ;
  • adapter l’algorithme aux contraintes du langage de programmation : identifier si nécessaire la nature des variables... ;
  • valider un programme simple.

Organisation des enseignements

Extrait du document ressources : Il serait souhaitable d’intégrer l’écriture d’algorithmes dans tous les domaines du programme :

• • fonctions : étude numérique et asymptotique ;
  • géométrie : les questions d’affichage, de positionnement et de déplacement d’objets géométriques simples (points, segments, cercles) peuvent être un champ d’investigation très riche ;
  • statistique : questions de tris, détermination de certains indicateurs (médiane, quartiles) ;
  • probabilités : la modélisation de certains phénomènes à partir de fréquences observées : méthode dite de Monte-Carlo,etc. ;
  • numérique : le traitement des nombres permet d’aborder des problèmes de comparaisons et de taille des nombres, d’exactitude dans les calculs, etc.

Expérience personnelle

• Introduction à l’algorithmique grâce à une recette de cuisine.
• Premiers algorithmes en géométrie repérée, coordonnées du milieu d’un segment, distance entre deux points, le triangle est-il équilatéral, isocèle, rectangle, quatrième point d’un parallélogramme…
• Algorithmes suivants sur les fonctions : valeurs d’une fonction, tracé de la courbe représentative d’une fonction…
• À venir : algorithmes sur les fonctions affines par morceaux, sur les droites, en statistique avec la simulation, l’échantillonnage, en probabilités, avec les fonctions de référence, les vecteurs, etc…

Quelles activités algorithmiques ? Comment les relier au programme ?

Je présenterai, avec une analyse pédagogique de chaque activité :

• une introduction, très simple, à l’algorithmique avec une recette de cuisine,
• des activités algorithmiques :
  • en géométrie repérée avec des travaux d’élèves,
  • sur les fonctions avec le programme donnant les valeurs et le tracé d’une fonction affine par morceaux,
  • en statistiques dans le domaine de la simulation.

Introduction : recette de cuisine

Exercice :

• Remettre dans l’ordre les instructions de la recette de la pâte à crêpes.
• Identifier les étapes de la recette avec les étapes d’un algorithme.

ANALYSE PÉDAGOGIQUE

Ce premier exemple avec la recette de cuisine peut être intéressant car il est très simple pour commencer, et permet de :

• • faire une petite recherche opérationnelle et d’introduire l’importance de l’ordre des instructions,
  • mettre en évidence les trois étapes d’un algorithme : entrée, traitement, sortie,
  • introduire une instruction conditionnelle.

Première recherche par les élèves

• L’algorithme qui parait être le plus simple est « calcul des coordonnées du milieu d’un segment ».
• Il permet d’introduire les notions fondamentales de lecture/ écriture, de mettre l’accent sur la différence entre « Afficher un message » et « Afficher la valeur d’une variable », qui sont deux instructions différenciées dans AlgoBox, ainsi que sur l’instruction « Lire la valeur d’une variable ».
• Dans un premier temps l’algorithme a été cherché sur papier, puis le programme écrit sans le tracé du graphique, et à une autre séance, nous avons rajouté le tracé du graphique.
• La prise en main du logiciel avec ses différentes fonctionnalités a duré environ 1 heure, l’écriture de l’algorithme, 1 heure, les rectifications éventuelles et pour certains l’écriture d’un autre algorithme, encore 1 heure.

COMMENTAIRES

• Je donnerai d’abord l’algorithme et le programme corrects, puis des programmes comportant des erreurs commises par mes élèves de seconde.
• Ceux-ci sont intéressants car ils permettent de mettre en évidence les difficultés rencontrées.
• On notera toutefois que certains élèves ont eu le temps d’écrire le programme correct sans le tracé du graphique, certains avec le tracé du graphique, et d’autres d’écrire également l’algorithme « calcul de la distance entre deux points ».
• Ces séances pourrons donner l’occasion de faire de la pédagogie différenciée, puisque les élèves n’en ont pas été au même stade d’apprentissage ni de compréhension.

ALGORITHME : COORDONNÉS DU MILIEU D’UN SEGMENT

Remarque : Dans les programmes qui suivent écrits avec AlgoBox, l’indentation n’apparaît pas à l’impression mais est automatique lors de l’écriture du code.

PROGRAMME ALGOBOX COORDONNÉS DU MILIEU

PROGRAMMES D’ÉLÈVES AVEC DES ERREURS

COMMENTAIRES

• Au travers de ces divers exemples de programmes d’élèves comportant des erreurs, on s’aperçoit que les notions d’Entrée/Sortie qui se traduisent par les instructions Lire/Afficher ne sont pas aisées à comprendre.
• Pour les élèves qui écrivent « donner une valeur à xA » sans écrire ensuite « lire xA », on peut supposer qu’ils imaginent que la valeur est donnée dès le moment où ils écrivent « donner une valeur à… » alors qu’il s’agit d’un message adressé à l’utilisateur du programme.
• Cela permet de travailler sur la notion de variable, bien différencier la variable de la valeur qu’elle peut prendre, donc d’insister aussi sur la notion d’affectation.
• AlgoBox différencie les instructions : « Afficher message » et « Afficher variable », ce qui est également très intéressant au niveau pédagogique.
• On peut faire remarquer que, quand un message s’affiche, les guillemets sont mis automatiquement, alors que ça n’est pas le cas pour l’affichage d’une variable.

Exemple d’énoncé

Considérons les points A(-1 ;1) , B(1 ;2) et C(3 ;-2).
Utiliser un logiciel de géométrie pour faire le graphique.

1. Placer ces points dans un repère orthonormé.
2. Dessiner le triangle ABC.
3. Que peut-on conjecturer sur ce triangle ?
4. Calculer les mesures des longueurs des côtés [AB], [BC], et [AC].
5. Le triangle ABC est-il équilatéral ?
   • • Le triangle ABC est-il isocèle ?
     • Le triangle ABC est-il rectangle ?
6. En déduire la position du centre I du cercle circonscrit au triangle ABC.
7. Calculer les coordonnées de I, et donner la valeur du rayon de ce cercle. Tracer ce cercle.
8. Soit E(3 ;1). Montrer que E est un point de ce cercle.

COMMENTAIRES PÉDAGOGIQUES

• Cet énoncé permet de montrer la nécessité de l’algorithme de calcul de la distance entre deux points qui intervient à plusieurs reprises dans l’exercice.
• On introduit les algorithmes permettant de tester si un triangle est équilatéral, isocèle, rectangle.
• Il y a une progressivité dans la difficulté de ces algorithmes car les tests logiques sont de difficultés croissantes.
  • Le test du triangle équilatéral utilise le connecteur logique ET avec deux conditions, dans une structure SI...ALORS…SINON.
  • Le test du triangle isocèle utilise le connecteur logique OU avec trois conditions, dans une structure SI…ALORS…SINON.
  • Le test du triangle rectangle utilise plusieurs tests imbriqués SI…ALORS…SINON.
• On peut réinvestir tous ces algorithmes dans d’autres exercices.

ALGORITHME ’’TRIANGLE ÉQUILATÉRAL’’

• Tout d’abord, au niveau de la conception de l’algorithme, certains élèves ont beaucoup de mal à expliciter leur démarche.
• Même s’ils savent résoudre le problème mathématique posé, ils ne parviennent pas forcément à écrire l’algorithme correctement.
• Dans tous les programmes où interviennent des calculs de distances, j’ai préféré demander aux élèves de calculer et de faire afficher la distance au carré, et ensuite la distance, pour bien différencier valeur exacte et valeur approchée, et éviter ainsi certains problèmes lors de comparaisons.
• Une remarque à propos de l’algorithme « triangle équilatéral » : il est d’autant plus intéressant au niveau du travail sur la logique que l’on constate que le test (AB²=AC²) ET (AB²=BC²) est souvent écrit au début par élèves : (AB²=AC²) ET (AB²=BC²) ET (AC²=BC²).

PROGRAMME ALGOBOX TRIANGLE ÉQUILATERAL

PROGRAMME ALGOBOX TRIANGLE ISOCÈLE

• Tout le début de l’algorithme jusqu’à la ligne 38, est identique à l’algorithme « triangle équilatéral ».
• Ils ne diffèrent qu’à partir des tests (ligne 39).

PROGRAMME ALGOBOX TRIANGLE RECTANGLE

• Tout le début de l’algorithme jusqu’à la ligne 38, est identique à l’algorithme « triangle équilatéral » ou « triangle isocèle ».
• Ils ne diffèrent qu’à partir des tests (ligne 39).
• Nous avons fait le choix de ne pas introduire de tri, jugé trop difficile à ce stade d’apprentissage.

Activité : calcul du salaire d’un employé

• On veut écrire une fonction permettant de calculer le salaire d’un employé payé à l’heure à partir de son salaire horaire et du nombre d’heures de travail.
• Les règles de calcul sont les suivantes : le taux horaire est majoré, pour les heures supplémentaires,
  • de 25% au-delà de 160 heures,
  • de 50% au-delà de 200 heures.

FICHE PÉDAGOGIQUE

• Cet exercice permet de faire calculer une expression qui dépend de l’intervalle où l’on se place.
• C’est un algorithme opératoire qui utilise des tests imbriqués.
• Cet exercice permet également de travailler sur les coefficients multiplicateurs.
• On écrira le programme « FONCTION SALAIRES », donnant les valeurs de la fonction salaires, définie par morceaux sur [0 ;160[, [160 ; 200[, [200 ; 240], et qui est continue.
• La fonction renvoie le salaire S en fonction du nombre d’heures effectuées nh (nh compris entre 0 et 240), avec un salaire horaire entré au clavier sh.
• On fera également tracer la courbe de la fonction par le programme.

PROGAMME ALGOBOX FONCTION SALAIRE

Le jeu du lièvre et de la tortue

Règle du jeu.

• À chaque tour, on lance un dé. Si le 6 sort, alors le lièvre gagne la partie, sinon la tortue avance d’une case.
• La tortue gagne quand elle a avancé 6 fois.

Question : le jeu est-il à l’avantage du lièvre ou de la tortue ?

• Le document ressources fournit 3 algorithmes.
• Je n’exposerai que le troisième qui contient une boucle.

ALGORITHME 3 : Avec une structure itérative conditionnelle

Évidemment, plutôt que de répéter 6 fois les mêmes instructions, il est possible de simuler une partie à l’aide d’une boucle. De cette façon, il sera facile d’expérimenter de nouveaux jeux en modifiant le nombre de cases que doit parcourir la tortue.

PROGRAMME SCILAB fourni par le document ressources

Remarques :

• « case » est un mot-clé du langage SCILAB ; la variable s’appelle donc « Ncase ».
• La structure repeat..until n’existe pas dans SCILAB, le code est donc légèrement aménagé par rapport à l’algorithme.
• Pour entrer dans la boucle une première fois, la variable « de » est initialisée avec la valeur arbitraire 0.

COMMENTAIRES

• Ci-après le programme écrit avec AlgoBox.
• Avec plusieurs exécutions, on obtient par exemple : sur un essai avec 10 simulations, la tortue a gagné 4 fois et le lièvre 6 fois.
• Modifications possibles de cet algorithme :
  • On peut ensuite réécrire le programme en lui faisant compter le nombre de fois où la tortue gagne et le nombre de fois où le lièvre gagne, pour un nombre de simulations entré au clavier.
  • On peut également décider de changer N, le nombre de cases nécessaires pour que la tortue gagne et, dans ce cas, ajouter une lecture de N entré au clavier.

PROGRAMME ALGOBOX

Comment est traitée la question dans les autres académies ?

• À l’université d’été de Saint-Flour dont l’intitulé était « Des problèmes de mathématiques venus d’ailleurs », les questions ont été, d’une part, sur les applications de l’algorithmique dans des domaines très variés comme la prise de décision, le fonctionnement d’Internet, l’étude de la leucémie, et, d’autre part, d’ordre pédagogique sur l’enseignement de l’algorithmique.
• Des groupes de travail se sont formés pour mutualiser des travaux, création d’activités algorithmiques, réflexions...
• La question également soulevée est celle de l’évaluation, en particulier en algorithmique.
• Des pistes ont été données dans les documents ressources et d’autres le seront sans doute au fur et à mesure des réflexions et des expériences de chacun avec les élèves tout au long de l’année, sachant également que les IREM et les sites académiques proposent de plus en plus de documents très intéressants.

Conclusion

• Je pense que l’introduction de l’algorithmique en seconde, et très certainement bientôt aux autres classes du lycée toutes sections confondues, donne un renouveau à l’enseignement des mathématiques dans le secondaire.
• Outre les problèmes de tâtonnements du début, je crois que ce domaine transversal à toutes les parties du programme est très motivant à la fois pour les élèves et les professeurs.
• Cela a permis de redynamiser notre réflexion, nos questionnements, et nos travaux dans les différents champs de notre travail.