Nomogramme basé sur le théorème de Thalès

mardi 29 septembre 2009
par Alain BUSSER

La recherche de l’ordonnée à l’origine d’une droite donne naissance à un nomogramme par division, qui se convertit aisément en nomogramme par multiplication.

La droite passant par le point de coordonnées $(0,-a)$ et le point de coordonnées $(1;b)$ coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;\frac{1}{1+\frac{b}{a}}\right)$ . Ceci peut se démontrer avec un peu de calcul formel mais aussi avec le théorème de Thalès puisque les droites $y=0$ et $y=1$ sont parallèles.

Pour peu que l’axe des ordonnées soit gradué homographiquement, on en déduit un nomogramme pour effectuer une division. Et en inversant les rôles du quotient et de l’un des facteurs, un nomogramme de multiplication, que voici :

Ce nomogramme est facile à construire parce que les graduations sont toutes verticales ou horizontales, mais difficile à manipuler avec précision parce que l’échelle des $y$ est homographique.

La version pdf, à agrandir en A3, est téléchargeable ci-dessous.

Elle a été réalisée en Asymptote.

//ce script Asymptote est libre, placé
//sous license CeCILL-B (non, pas 2000):
//http://www.cecill.info/licences/Licence_CeCILL-B_V1-fr.html
//auteur: Alain Busser
//Date: Septembre 2009
//
import unicode; // pour l'accent aigu
real h=0.004; // largeur des graduations
pair A,B;
unitsize(14cm);
size(29cm); // en  paysage
pen thin=linewidth(0.25*linewidth());
for (int n=0;n<=500;n=n+1){ // graduations  sur y=0
if(n%50==0){
A=(-n/500,-4*h);
B=(-n/500,4*h);
label(scale(0.4)*(string) (n/50),A,S,black);
} else {
if(n%25==0){
A=(-n/500,-2*h);
B=(-n/500,2*h);
} else {
if(n%5==0){
A=(-n/500,-h);
B=(-n/500,h);
} else {
A=(-n/500,-h/2);
B=(-n/500,h/2);
}
}
}
draw(A--B,black+thin);
}
for (int n=0;n<=500;n=n+1){ // graduations  sur y=1
if(n%50==0){
A=(n/500,1-4*h);
B=(n/500,1+4*h);
label(scale(0.4)*(string) (n/5),B,N,black);
} else {
if(n%25==0){
A=(n/500,1-2*h);
B=(n/500,1+2*h);
} else {
if(n%5==0){
A=(n/500,1-h);
B=(n/500,1+h);
} else {
A=(n/500,1-h/2);
B=(n/500,1+h/2);
}
}
}
draw(A--B,black+thin);
}
for (int n=1;n<=100;++n){ // graduations verticales, irrégulières
if(n%10==0){
A=(-4*h,1/(1+n/100));
B=(4*h,1/(1+n/100));
label(scale(0.4)*(string) (n/10),B,E,black);
} else {
A=(-h,1/(1+n/100));
B=(h,1/(1+n/100));
if(n%5==0){
A=(-2*h,1/(1+n/100));
B=(2*h,1/(1+n/100));
}
}
draw(A--B,black+thin);
}
draw((0,0)--(-1,0),black+thin);
draw((0,0)--(0,1),black+thin);
draw((0,1)--(1,1),black+thin);

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Version pdf à agrandir en A3

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