Les instruments du calcul savant > Vincenzo Riccati et l'intégration tractionnelle des équations différentielles

Analyse résumée du contenu et de la portée du De usu motus tractorii

Dominique Tournès
 

En 1752, Vincenzo Riccati publie à Bologne un court mémoire en latin intitulé De usu motus tractorii in constructione æquationum differentialium. Ce texte est intéressant car c'est le seul traité théorique qui ait été consacré à l'emploi du mouvement tractionnel en géométrie. L'ouvrage comporte soixante-douze pages de texte et trois planches en fin de volume rassemblant seize figures.

Vincenzo Riccati (1707-1775) est le quatrième fils de Jacopo Riccati. Le père est plus célèbre que le fils en raison de l'équation différentielle qui porte son nom. En effet, la fameuse équation de Riccati, proposée aux géomètres en 1722, devait entraîner de nombreuses recherches et de nombreuses généralisations jusqu'à nos jours. Vincenzo était un père jésuite. Pendant trente-quatre ans, de 1739 à 1773, il enseigna les mathématiques au Collegio di Santa Lucia de Bologne. En 1773, lorsque l'ordre des jésuites fut supprimé par le pape Clément XIV, Vincenzo retourna dans la maison paternelle de Trévise pour y passer les deux dernières années de sa vie. Vincenzo fut un bon mathématicien. Il s'est distingué dans ce domaine par des contributions significatives : théorie des forces vives, rectification des sections coniques, introduction des fonctions hyperboliques, nouvelle méthode de séparation des indéterminées pour les équations différentielles. Par ailleurs, dans la vie courante, Vincenzo est décrit par ses contemporains comme un homme simple, modeste, menant une vie bien réglée. On connaît au moins trois portraits de lui : une peinture anonyme qui se trouve au musée de Castelfranco Veneto, une médaille frappée à son effigie à Bologne et une gravure conservée à la bibliothèque municipale de Trévise.

Figure 1. Trois portraits de Vincenzo Riccati (1707-1775)

Pourquoi Vincenzo a-t-il écrit ce mémoire de 1752 ? Il est assez facile de répondre, car lui-même nous raconte l'origine de son travail et le cheminement de ses idées. Tout vient de la lecture d'un bref passage d'un mémoire de Clairaut de 1742, publié en 1745 dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences de Paris. Dans ce passage, Clairaut résume en quelques lignes, sans démonstration, un résultat trouvé par Euler en 1736 : l'intégration par le mouvement tractionnel d'une forme générale de l'équation de Riccati. Intrigué par ce résultat, Vincenzo a cherché à en retrouver la démonstration, puis s'est lancé dans diverses généralisations qui l'ont conduit peu à peu à un résultat inattendu : il est possible d'intégrer de manière exacte à l'aide d'un mouvement tractionnel, non seulement l'équation de Riccati, mais, plus généralement, toute équation différentielle. Avant de préciser la signification de ce résultat, il convient de souligner que la réflexion de Riccati n'est pas seulement théorique et abstraite : tout au long de son traité, le père jésuite s'interroge sur la possibilité de fabriquer des instruments matériels permettant la réalisation effective des constructions qu'il imagine.
 

Une position centrale entre deux groupes d'instruments d'intégration

En fait, le travail de Riccati occupe une place centrale dans l'histoire d'un certain type d'instruments mécaniques d'intégration, à savoir les instruments tractionnels. Un instrument tractionnel est un instrument qui trace une courbe intégrale d'une équation différentielle à partir d'un mouvement de traction. Sur un plan horizontal, on tire l'une des extrémités d'un fil ou d'une tige rigide le long d'une courbe donnée, appelée « base » du mouvement, et l'autre extrémité, l'extrémité libre, décrit pendant le même temps une nouvelle courbe qui reste constamment tangente au fil ou à la tige. À cette extrémité libre, on place une pointe traçante surmontée d'un poids faisant pression, ou une roulette coupante mordant dans le papier, de sorte que tout mouvement latéral soit neutralisé. En choisissant convenablement la courbe sur laquelle on tire le fil et en faisant varier la longueur du fil selon une loi donnée, on peut intégrer différents types d'équations différentielles. Il s'agit, en quelque sorte, de résoudre un problème inverse des tangentes en matérialisant la tangente par un fil tendu et en déplaçant le fil de sorte que la propriété donnée des tangentes soit vérifiée à chaque instant. Pour ce faire, la longueur de la tangente est contrôlée par un système mécanique (poulie, tige à glissière...) et par une seconde courbe, appelée « directrice » du mouvement.

Curieusement, des instruments de ce type ont été envisagés et fabriqués à deux périodes distinctes, sans qu'il semble y avoir eu le moindre lien entre les deux périodes. La première période, d'une soixantaine d'années, va de 1692 à 1752. De nombreux mathématiciens s'intéressent alors au mouvement tractionnel : Huygens, Leibniz, Jean et Jacques Bernoulli, L'Hospital, Varignon, Fontenelle, Bomie, Fontaine, John Perks, Jean-Baptiste Clairaut et son fils Alexis-Claude, Maupertuis, Euler, etc. En Italie, on peut citer notamment Giovanni Poleni, Giambatista Suardi et, bien entendu, Vincenzo Riccati. À cette époque, il y a un enjeu théorique sous-jacent que Henk Bos a étudié de manière très profonde : la légitimation des courbes transcendantes. Descartes avait légitimé l'emploi des courbes algébriques en géométrie grâce au mouvement continu simple des systèmes articulés. De façon analogue, le mouvement tractionnel est apparu comme un nouveau type de mouvement continu simple susceptible de légitimer l'emploi des courbes transcendantes. Mais le mouvement tractionnel n'est pas seulement une opération de l'esprit ou une expérience de pensée. De 1692 à 1752, on cherche à construire effectivement des instruments tractionnels pour tracer des courbes transcendantes usuelles ou pour résoudre certains problèmes inverses des tangentes.

Figure 2. Quelques instruments tractionnels de la période 1692-1752

Après environ 150 ans d'interruption, pendant lesquels on ne trouve presque plus aucune trace du mouvement tractionnel, un second groupe d'instruments apparaît soudainement. Les ingénieurs de la fin du dix-neuvième siècle et du début du vingtième siècle redécouvrent, de manière indépendante, les mêmes principes théoriques et les mêmes solutions techniques que ceux du dix-huitième siècle. Ce sont à nouveau des fils ou des tiges rigides dont on déplace une extrémité le long d'une première courbe tracée au préalable sur le papier, et dont la longueur est déterminée par une seconde courbe donnée. Plus tard, on verra même des instruments tractionnels plus compliqués, avec deux roulettes coupantes reliées entre elles pour pouvoir intégrer des équations différentielles du second ordre. Dans certains grands analyseurs différentiels des années 1930-1950, on reliera entre elles jusqu'à une dizaine de roulettes coupantes pour pouvoir intégrer les grands systèmes différentiels rencontrés, par exemple, lors de la mise en place des réseaux d'électricité et de téléphone.

Figure 3. Quelques instruments tractionnels de la seconde période

Quatre types de tractoires pour intégrer toute équation différentielle

En 1752, Vincenzo Riccati a élaboré une théorie qui permet d'expliquer le fonctionnement de toute cette catégorie d'instruments. La théorie repose sur diverses généralisations de la notion de tractoire à partir de la tractrice, la première tractoire décrite par Huygens en 1692. Tout au long des chapitres du traité, on assiste à des généralisations successives qui permettent d'intégrer des classes de plus en plus étendues d'équations différentielles. Il y a tout d'abord les tractoires à tangente constante, tracées avec un fil de longueur constante que l'on tire le long d'une base. Ces tractoires, les seules envisagées par Euler, permettent d'intégrer la moitié des équations de Riccati. La première idée personnelle de Vincenzo consiste alors à remarquer ceci : dire que la tangente est constante revient à dire que l'extrémité libre B du fil se trouve en permanence sur un cercle de rayon constant ayant pour centre l'extrémité A que l'on tire. En remplaçant le cercle par une courbe quelconque liée rigidement au point A et se déplaçant avec lui, on obtient la notion de tractoire à directrice constante. En effet, la directrice reste constante dans le repère d'origine A. Grâce à ces tractoires, Riccati parvient à intégrer l'autre moitié des équations de Riccati (une moitié qui avait échappé à Euler), ainsi que d'autres équations. Une deuxième idée consiste à faire varier la longueur du fil en fonction de l'abscisse du point A. C'est la notion de tractoire à tangente variable. Cela revient à prendre une directrice variable circulaire dont le centre reste toujours en A. Enfin, la notion la plus générale consiste à contrôler la longueur du fil par une directrice variable dont la forme varie de manière quelconque en fonction de l'abscisse de A. Les types 2 et 3 sont un cas particulier du type 4. Le type 1 est un cas particulier des types 2 et 3.

Figure 4. Les quatre types de tractoires

À l'aide de ces quatre types de tractoires, Riccati montre qu'on peut intégrer exactement toute équation différentielle, et cela d'une infinité de manières. On peut toujours l'intégrer avec une tractoire à base rectiligne et à directrice variable. On peut aussi l'intégrer avec une base curviligne choisie à volonté. Tout consiste alors à choisir la base pour que la directrice soit une courbe simple, et si possible constante. En effet, les tractoires à directrice constante se prêtent bien à la fabrication d'instruments matériels. Par contre, c'est plus difficile pour une tractoire à directrice variable : il n'est pas évident du tout de fabriquer une courbe matérielle qui puisse se déformer continûment, aussi des instruments correspondant à ce dernier type n'ont été conçus que très rarement, pour des équations assez particulières.

Quand on dit que Vincenzo Riccati intègre « toute équation différentielle », il faut comprendre par là toute équation différentielle concevable pour l'époque, c'est-à-dire toute équation à deux variables indépendantes x et y dans laquelle les coefficients des éléments infinitésimaux dx et dy sont des expressions formées à l'aide d'un nombre fini d'opérations algébriques et de quadratures. Sous ces conditions, toutes les courbes auxiliaires employées par Riccati, les courbes de base et les courbes directrices, sont constructibles par les moyens classiques. Le mouvement tractionnel apparaît alors comme un procédé additionnel de construction qui permet d'obtenir de nouvelles courbes à partir des courbes précédemment connues.
 

La portée du mémoire de 1752

D'un point de vue théorique, le De usu motus tractorii est l'aboutissement de l'ancien courant de résolution géométrique des problèmes par la construction de courbes. Vincenzo Riccati a, d'une certaine manière, mis un point final à ce courant en montrant qu'on pouvait construire d'un mouvement continu simple toutes les courbes transcendantes à partir des équations différentielles qui les définissent. Du point de vue pratique, le mémoire de 1752 propose un modèle théorique très général pour expliquer de manière unifiée le fonctionnement d'un grand nombre d'instruments tractionnels passés (ceux d'avant 1750) et à venir (ceux de la fin du dix-neuvième siècle et de la première moitié du vingtième). Pourtant, le travail de Vincenzo Riccati n'a pas connu la célébrité et n'a pratiquement pas eu de postérité. Il a été manifestement peu lu et peu diffusé. Il est probablement arrivé trop tard, à la fin de l'époque de la construction des courbes, au moment où la géométrie a cédé le pas à l'algèbre, au moment où les séries devenaient l'outil privilégié pour représenter les solutions des équations différentielles. Quoiqu'original et brillant, il est apparu d'emblée démodé.