Cambridge, Massachussets, 8 septembre 2007
(dans le cadre du XXVI Symposium of the Scientific Instrument Commission, Harvard University)

Planimeters and Integraphs in the 19th Century : Before the Differential Analyser

Marie-José Durand-Richard (université Paris 8 et REHSEIS)

Abstract. Reading books on the history of computing, we are accustomed to find informations on arithmetical engines, and on the developments of the relationship between logic and mathematics at the beginning of the 20th century. With such a view, it is difficult to understand what is going on in scientific calculus between Babbage's analytical engine and the computers. Such an history is neglecting the importance of analog instruments. Amongst them, planimeters and integraphs, intended to obtain the measure of surfaces, realized the theoretical integral calculus, and gave results even when the calculus did not. More specifically in England, planimeters and integraphs gained in precision with the peculiar implication of some engineers-physicists such as Vernon Boys or Hele Shaw. And the initial system of a roller rolling on a cone or a disc was integrated in more complex apparatus. With several systems disc-sphere-cylinder, the harmonic analyser of Lord Kelvin drew different Fourier composants of the tides movement, and Kelvin thought a manner to build them to resolve differential equations. Several decades after, resolving technical problems and following Bush, Hartree realized the differential analyser. This presentation will focuse on the relationships between theoretical and practical developments of these means of calculus, on the specific « milieux » where they were cultivated, and on the difficulties to be resolved in order to pass from the planimeter to the differential analyser.
 

Prague, 23 juillet 2007
(dans le cadre de la 5th European Summer University on the History and Epistemology in Mathematics Education)

Geometrical Approach of Differential Equations : from History to Mathematics Education

Dominique Tournès (IUFM de la Réunion et REHSEIS)

Abstract. For ten years, I have conceived and I tried out activities of geometrical approach of the differential equations, at the same time in classes of secondary schools and in teachers' training. I am inspired for that by the methods of construction of curves imagined by the pioneers of calculus (Newton, Leibniz, Euler, Riccati…), as well as graphic methods of calculation practised by the engineers of the 19th century: construction by segments of tangents, by arcs of osculatory circles, by tractional movement, etc. The activities which result from it appeal only to elementary geometrical knowledge and can naturally be enriched by the use of modern dynamic geometry software. They allow the pupils to acquire a simple and natural geometrical vision of the concept of differential equation, in conformity with the historical process of its development and likely to prepare effectively the later analytical study. My talk will offer a short panorama of the possible activities and the experiences already carried out in this field.
 

Montpellier, 9 juillet 2007
(dans le cadre du XIIe Congrès international des Lumières : Sciences, techniques et cultures au XVIIIe siècle)

Les instruments de mathématiques au XVIIIe siècle

Dominique Tournès (IUFM de la Réunion et REHSEIS)

Résumé. Le siècle des Lumières est une période dynamique, propre aux réalisations en tous genres. Les mathématiques y sont à la mode. Le goût pour l'expérience, la volonté de décrypter les lois de la nature, la multiplication des champs d'application des mathématiques, entraînent l'invention de nouveaux instruments pour matérialiser les objets abstraits des théoriciens. Le phénomène est accentué par l'existence de nombreux amateurs, la création d'ateliers de mécanique de précision et le goût pour les collections d'instruments scientifiques. C'est ainsi que de nombreux appareils ingénieux sont réalisés pour tracer non seulement les courbes géométriques cartésiennes, mais aussi les courbes transcendantes issues des développements du calcul intégral. On précisera les conditions scientifiques et culturelles qui caractérisent un tel foisonnement, observé principalement dans la première moitié du siècle. On s'interrogera ensuite sur la disparition rapide de l'intérêt pour les instruments à partir des années 1750, au moment où les mathématiciens, en quête d'une algèbre de l'infini libérée des contingences de la géométrie et de la mécanique, s'orientent radicalement vers des méthodes d'investigation purement analytiques.
 

Paris, 19 mars 2007
(dans le cadre du séminaire « Histoires de géométries » de la Maison des Sciences de l'Homme)

La construction tractionnelle des équations différentielles dans la première moitié du XVIIIe siècle

Dominique Tournès (IUFM de la Réunion et REHSEIS)

Résumé. En 1752, Vincenzo Riccati a démontré que toute courbe définie par une équation différentielle pouvait être construite à l’aide d’un mouvement tractionnel. Ce résultat, qui est le pendant, pour les courbes transcendantes, de celui que Descartes avait énoncé pour les courbes algébriques, constitue une sorte d’aboutissement de la théorie de la construction géométrique des équations à l’aide de mouvements continus simples, théorie qui a fleuri dans la première moitié du XVIIIe siècle avant de disparaître soudainement. On s’interrogera sur les aspects épistémologiques et sur les applications pratiques d’une telle conception géométrique des équations différentielles. On analysera au passage des textes peu connus, comme le Traité des tractoires écrit par Maupertuis en 1736 et resté inédit, ou la correspondance entre Euler et Poleni sur le mouvement tractionnel, non encore publiée dans les oeuvres complètes d’Euler.
 

Paris, 23 novembre 2006
(dans le cadre du séminaire « Sciences, légitimités, médiations » de l'université Paris 8)

À propos de la résolution analogique des équations algébriques : savoirs des mathématiciens, savoirs des ingénieurs, savoirs des enseignants

Dominique Tournès (IUFM de la Réunion et REHSEIS)

Résumé. Un corpus de plus de 330 textes sur la résolution analogique des équations algébriques (résolution graphique, nomographique, mécanique, statique, hydraulique, électrique...), a permis d'étudier finement comment les savoirs liés à cette question se sont construits et ont circulé entre différents milieux (mathématiciens, ingénieurs, enseignants), et sous quelle forme ils ont été effectivement utilisés à des fins théoriques, pratiques ou didactiques.