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Le projet de recherche
Contexte et enjeux
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Contexte et enjeux Pendant toute une période, l'histoire des mathématiques s'est appuyée en priorité sur l'analyse des textes académiques (monographies, articles de périodiques, papiers personnels des grands mathématiciens), ce qui a conduit à une histoire « littéraire » essentiellement consacrée à la naissance et au développement de quelques grandes théories abstraites et aux réflexions philosophiques sur les fondements des mathématiques. C'était méconnaître en partie que les mathématiques sont aussi pratiquées par d'autres groupes sociaux (astronomes, physiciens, ingénieurs civils et militaires...) dont la préoccupation première n'est pas tant la justification logique de l'existence des objets mathématiques et la démonstration de leurs propriétés dans un cadre hypothético-déductif rigoureux, que la construction et la manipulation de ces objets, au sein de problèmes appliqués bien réels, par la mise au point d'algorithmes effectifs et d'instruments de calcul adaptés. De plus, on a eu tendance à croire que ces mathématiques appliquées, ces mathématiques du calcul, n'étaient qu'une retombée secondaire, sans grand intérêt épistémologique, des mathématiques académiques, alors que les recherches récentes montrent au contraire qu'il y a toujours eu une interaction fructueuse, quoique mal étudiée, entre les deux. Dans d'autres domaines, pendant que les mathématiciens académiques démontrent des résultats négatifs mettant en évidence les limitations du cadre théorique qu'ils se sont eux-mêmes imposé (impossibilité de résoudre telle équation algébrique par radicaux, impossibilité de construire tel problème à la règle et au compas, impossibilité d'intégrer telle équation différentielle par quadratures...), on constate que ce sont les mécaniciens, les ingénieurs et les astronomes qui introduisent informellement de nouvelles courbes, de nouveaux instruments, de nouveaux algorithmes infinis, de nouveaux procédés de calcul portant sur des objets encore mal identifiés, dont les théoriciens s'empareront ensuite pour élargir leur cadre conceptuel et résoudre d'une manière radicalement nouvelle les problèmes anciens. La théorie des équations différentielles est significative à cet égard : c'est dans un ensemble de techniques pratiques faiblement fondées, mais validées par leurs succès dans les applications (lignes polygonales et différences finies des artilleurs, séries divergentes et approximations successives des astronomes, intégrations graphiques des ingénieurs...) que les analystes du dix-neuvième siècle puiseront des idées constructives assurant le renouveau de la théorie (théorème fondamental d'existence de Cauchy-Lipschitz, théorèmes des approximations successives de Picard et du point fixe de Banach, étude qualitative des courbes intégrales par Poincaré...). Guidée par de telles constatations, une nouvelle approche se développe en histoire des mathématiques, qui accorde une importance accrue aux algorithmes et aux calculs, et qui ambitionne de faire ressortir de l'oubli des pans entiers du corpus mathématique ancien et moderne négligés par l'historiographie traditionnelle. Dans ce contexte, la spécificité de notre projet de recherche sera de contribuer à l'effort collectif par l'entrée des « instruments du calcul savant ». Expliquons d'abord ce que nous entendons par cette expression. Nous laissons de côté les instruments du calcul arithmétique (abaques à jeton, bouliers, machines arithmétiques du type de celles de Pascal ou de Leibniz...) et les algorithmes élémentaires pratiqués par les comptables et les marchands. Nous nous intéressons par contre au calcul « savant », c'est-à-dire à celui qui est pratiqué couramment par les astronomes, les physiciens, les ingénieurs : du point de vue mathématique, il intervient dans des problèmes qui nécessitent notamment la résolution d'équations algébriques, le calcul de fonctions transcendantes, le calcul de quadratures et la résolution d'équations différentielles, voire d'équations fonctionnelles plus générales.
À côté des textes, les instruments constituent un autre matériau offert à la sagacité de l'historien. Un instrument peut être à la source de nombreuses questions : quelles sont les mathématiques justifiant son fonctionnement ? Quelle précision peut-on en attendre ? Qui le fabriquait ? Qui le commercialisait ? Par quel groupe social était-il utilisé et pour quels types de problèmes ? Une table numérique, telle qu'on en a construit des milliers dans les siècles passés, en particulier pour l'astronomie, la navigation ou l'artillerie, est non seulement un instrument de calcul, mais aussi une forme de texte mathématique, en apparence des plus austères, qui apprend pourtant beaucoup à celui qui fait l'effort de lire entre ses lignes ou ses colonnes de chiffres : qui a calculé cette table ? Quels algorithmes ont été inventés pour son calcul ? Comment le calcul a-t-il été organisé ? Qui utilisait la table et pourquoi ? D'autres questions surgissent encore à la contemplation d'un abaque ou d'un nomogramme : quelles sont les courbes cotées dont il est composé ? Comment les a-t-on construites ? Avec quels instruments ? L'interrogation est sans fin... L'examen critique des instruments du calcul savant, qu'il faut voir bien entendu comme un simple point de départ, devrait nous permettre d'aborder plusieurs questions générales qui nous semblent jusqu'ici insuffisamment étudiées : 1) Quelles étaient les pratiques de calcul en usage dans différents corps de métier (astronomes, marins, artilleurs, ingénieurs du génie civil...) ? Comment ces pratiques se constituaient-elles ? Comment étaient-elles enseignées et transmises ? Comment circulaient-elles d'un groupe social à l'autre ? D'un pays à l'autre ? 2) En quoi les contraintes technologiques et économiques conditionnaient-elles les instruments disponibles en un lieu et un temps donnés, et en quoi cette limitation sociale était-elle un obstacle ou, au contraire, une source de créativité pour le développement de nouveaux algorithmes et de nouvelles pratiques de calcul ? 3) Comment les instruments de calcul analogique, dont le but est de réaliser des calculs numériques en s'appuyant « par analogie » sur des phénomènes géométriques ou mécaniques, voire électriques, hydrauliques ou chimiques, ont-ils interagi avec le développement de certains concepts et de certaines théories mathématiques ? En particulier, quel rôle ont-ils joué dans la réflexion sur le lien entre algèbre et géométrie, entre géométrie et mécanique ? 4) Comment les savoirs mathématiques des mathématiciens académiques et ceux des praticiens entraient-ils en contact ? Quelles influences mutuelles peut-on déceler ? En quoi les nouveaux résultats théoriques entraînaient-ils un perfectionnement des techniques et instruments de calcul en vigueur, voire l'abandon de pratiques anciennes ? À l'opposé, en quoi les mathématiques créées en acte par les praticiens pouvaient-elles donner naissance à de nouveaux objets abstraits et de nouveaux types de justifications théoriques ? |
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En effet, c'est souvent en acte, dans la pratique quotidienne des différents corps de métier, que se constituent peu à peu, sous forme de règles, de procédures, de consignes transmises et perfectionnées de génération en génération, les algorithmes et les concepts dont les théoriciens s'empareront ensuite pour définir des objets mathématiques nouveaux. On sait bien que ce sont les peintres, les architectes, les charpentiers, les tailleurs de pierre qui ont fait émerger, à travers leurs constructions graphiques, la géométrie projective théorisée plus tard par Monge, Carnot ou Poncelet.
Le mot « instrument », quant à lui, doit être pris en un sens large. Il recouvre tout d'abord des objets matériels variés comme des tables numériques, des tables graphiques (abaques et nomogrammes), des règles à calcul et des papiers logarithmiques, des instruments servant à tracer des courbes particulières, des instruments graphomécaniques d'intégration (planimètres et intégraphes), des analyseurs différentiels, des ordinateurs, etc. Mais il peut s'agir aussi, tout simplement, du papier et du crayon lorsqu'un calcul d'envergure nécessite une stratégie particulière, un découpage en plusieurs parties pouvant être exécutées indépendamment par une ou plusieurs personnes, comme cela se pratiquait dans les bureaux de calcul des observatoires ou dans les bureaux de dessin de certains grands chantiers (dans ce cas, au-delà du papier et du crayon, l'instrument est, en quelque sorte, un groupe humain « programmé » d'une certaine manière pour exécuter un calcul donné). Dans le même ordre d'idées, on pourra considérer comme savants certains calculs effectués par les actuaires et les statisticiens lorsque les opérations à effectuer, tout en restant élémentaires, sont en nombre tellement grand qu'elles nécessitent une organisation collective rigoureuse, voire conduisent à des tentatives de mécanisation (on peut songer ici aux machines de Korsakov en Russie ou de Hollerith aux États-Unis).