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Exposition sur les instruments d'intégration au Musée des arts et métiers
Synopsis
Compléments |
Synopsis de l'exposition rédigé sous la direction de Marie-José Durand-Richard (REHSEIS) et Loïc Petitgirard (CNAM) Avant-Propos | Pourquoi mesurer des aires ? | Du calcul approché au calcul exact | Planimètre polaire et intégraphe | Ouvertures et compléments Télécharger l'intégralité du synopsis : fichier pdf, 16.3 Mo Avant-Propos La détermination de l'aire d'une surface représente depuis longtemps un enjeu économique, une nécessité dans le développement technique et industriel, tout autant qu'un défi scientifique. Cadastre, cartographie, géodésie ne sont que quelques illustrations des situations où cette question se pose. Avec la mathématisation des sciences, scientifiques et ingénieurs s'appuient plus généralement sur le calcul différentiel et intégral pour tirer parti des lois de la physique.
Ces instruments sont apparus en nombre au XIXe siècle et constituent une aide au calcul, dont ils accompagnent alors le développement, tant pour les mathématiques que pour l'industrie. Les nouveaux moyens de production industriels permettent d'apporter aux instruments construits davantage de précision et de fiabilité. Plusieurs mémoires, dont celui de Jakob Amsler de 1856, leur confèrent une légitimité théorique. Les nouveaux instruments suivent les ingénieurs et les géomètres de leur bureau jusqu'au chantier. À partir de la seconde moitié du XIXe siècle, leur diffusion est considérable : leur nombre atteint un million d'exemplaires dans les années 1970 et dépasse aujourd'hui 1 250 000. Ce sont des instruments du « calcul savant » : ils réalisent des opérations plus complexes que les opérations arithmétiques courantes (addition, multiplication…). Depuis, la calculatrice de poche et l'ordinateur les ont remplacés, même s'ils sont encore fabriqués par des entreprises spécialisées.
Extrait du catalogue Coradi 1900 Le Musée des arts et métiers possède une collection remarquable de ces instruments, dont une partie seulement sera présentée. Cette exposition est l'occasion de souligner l'importance du calcul dans le développement scientifique et technique. Elle témoigne de l'existence d'une culture matérielle des mathématiques, trop souvent négligée, voire complètement passée sous silence, dans l'enseignement comme dans la vulgarisation des mathématiques, qui privilégient la présentation des concepts au détriment de leur mise en pratique. L'exposition s'articule autour de la présentation des trois clés pour la compréhension de ces instruments : le calcul dans la science, la technique et l'industrie au XIXe siècle, son rôle et son importance ; les principes du calcul intégral ; les principes du planimètre polaire et de l'intégraphe. Chaque thème est exposé sur l'un des trois murs principaux de la salle d'exposition. Le quatrième pan de mur est le support de deux panneaux de conclusion et d'ouverture sur les prolongements de cette histoire. Enfin, dans la vitrine contenant les instruments, prennent place deux panneaux complémentaires, l'un sur les inventeurs et fabricants d'instruments, l'autre sur la précision des mesures réalisées avec ces appareils. Jeu d'appel (introductif à la problématique générale de l'exposition)
Sur le sol, on dessine une ligne courbe. Comment évaluer sa longueur, si on ne possède aucune donnée mathématique à son sujet ? Le double-décimètre n'est d'aucun secours, si ce n'est pour une approximation. Un instrument, tel qu'une roulette de géomètre, est indispensable pour faire mieux. Cet instrument est constitué d'une roulette mobile autour d'un axe. En faisant rouler la roulette le long de la courbe, on compte le nombre de tours effectués par la roulette, y compris la fraction de tour terminale. La longueur de la courbe correspond à ce nombre multiplié par le périmètre de la roulette (2Pi x rayon). En d'autres termes, on ne calcule pas la longueur, on la mesure grâce à un instrument qui réalise mécaniquement une relation géométrique simple entre la longueur parcourue par la roulette et sa rotation. L'utilisateur n'a plus qu'à lire directement le résultat, le mécanisme « calculant » pour lui. Pour déterminer l'aire de la surface entourée par une ligne courbe, la démarche est similaire. On emploie alors des instruments plus élaborés, les planimètres et les intégraphes. La mesure d'un segment de droite, du périmètre d'un carré, ou de sa diagonale, peut aussi être l'occasion de sensibiliser le public sur le problème de la précision de la mesure, et de l'habileté requise dans la manipulation. Deux mesures successives donnent deux résultats très proches, mais jamais tout à fait identiques : quel est le « bon » résultat ? Existe-t-il un « bon » résultat ? |
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Ces calculs d'aires et d'intégrales soulèvent de nombreuses difficultés mathématiques et des impossibilités. Comment par exemple mesurer l'étendue S d'une forêt sur un plan cadastral ? Si on connaît une fonction mathématique représentant le bord de la forêt, on peut espérer calculer son étendue grâce à l'intégrale de cette fonction. Mais même dans ce cas, les mathématiques ne réussissent pas toujours à calculer l'intégrale. Comment faire si, en outre, on ne dispose que du dessin de ce bord ? Ingénieurs et mathématiciens ont alors imaginé des instruments pour mesurer les surfaces sans faire de calculs. Ce sont les planimètres et les intégraphes présentés dans l'exposition. 
Comment déterminer la longueur d'une ligne courbe ? Préalable à l'entrée dans l'exposition, un simple jeu permet de familiariser le visiteur avec la problématique de la conception et de la manipulation de ces instruments. La question de la mesure de la longueur d'une courbe introduit à la mesure des aires, sujet de l'exposition.