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Exposition sur les instruments d'intégration au Musée des arts et métiers
Panneaux
Compléments |
Panneaux de l'exposition Panneau 1 | Panneau 2 | Panneau 3 Ces trois pages reprennent l'essentiel du contenu des panneaux de l'exposition. Les illustrations ont été réalisées par l'agence Fake. Mesurer pour calculer Les planimètres sont conçus pour mesurer des aires en parcourant leur contour. L'un des premiers, construit en 1827 par Gonnella, a servi à réaliser le plan cadastral de l'île d'Elbe. À partir du milieu du XIXe siècle, ces appareils connaissent une large diffusion. Au-delà de la géodésie et de la cartographie, les planimètres sont une aide au calcul pour les ingénieurs. À cette époque, l'industrialisation stimule le développement des transports et de la construction. Les planimètres servent, par exemple, à déterminer la forme de la coque d'un navire pour lui assurer une bonne stabilité.
Exemple d'aires à déterminer en construction navale (d'après Abdank-Abakanowicz, 1886) Les ingénieurs les utilisent aussi pour déterminer le tracé des routes. Les planimètres permettent de calculer et d'égaliser les volumes des déblais et des remblais, afin de limiter les déplacements de terre.
Exemple d'aires à déterminer pour le transport des terres (d'après Abdank-Abakanowicz, 1886) Le planimètre à cheveu : l'approximation par les trapèzes Pour approcher l'aire d'une surface, on peut la découper en trapèzes contigus de même hauteur h. On additionne les mesures des bases médianes b1, b2, ..., bn de ces trapèzes, et on multiplie la somme obtenue par la hauteur commune h. L'aire approchée est : A = h x (b1 + b2 + ... + bn).
La surface est découpée en bandes parallèles de même largeur h, assimilées à des trapèzes, Manuellement, cette somme s'obtient en reportant bout à bout, sur une droite, les longueurs des bases médianes. À cet effet, on utilisait autrefois le compas, une bande de papier ou des fils en crin de cheval. D'où le nom - qui est resté - de « planimètre à cheveu ». Au XIXe siècle, le planimètre sommateur de Beuvière mécanise le procédé. L'utilisateur déplace le chariot de l'instrument le long des bases médianes. Elles sont repérées grâce à une lame de verre graduée selon l'intervalle h fixé par le constructeur. La roue enregistreuse totalise leurs longueurs. L'aire approchée se lit directement sur la graduation de la roue.
Le planimètre de Beuvière (Paris, 1844) mécanise la sommation des bases médianes. Une lame de verre posée sur la surface, graduée de manière adéquate, permet de visualiser et de numéroter ces bases médianes Le principe de l'intégration Pour déterminer l'aire d'une surface, on peut procéder par approximations ou recourir à la théorie de l'intégration. Depuis l'Antiquité, on sait approcher une aire en découpant la surface donnée en surfaces plus simples (carrés, rectangles, triangles, trapèzes). Plus la taille des subdivisions diminue, meilleure est l'approximation.
Quadrature du cercle et de la parabole par Archimède : approximation par des polygones inscrits et/ou circonscrits En théorie, pour obtenir l'aire exacte, on réduit la taille des subdivisions à l'infini (passage à la limite) : c'est le principe du calcul intégral. Dans le cas de l'aire sous une courbe d'équation y = f(x), on imagine un découpage idéal en rectangles de hauteur f(x) et de largeur dx infiniment petite. La somme de leurs aires s'appelle « intégrale de f » et se note
Lorsque la largeur des rectangles tend vers zéro, l'aire hachurée tend vers l'aire sous la courbe Newton et Leibniz ont mis au point des procédures pour intégrer certaines fonctions. Cependant, même aujourd'hui, on ne sait pas calculer l'intégrale de n'importe quelle fonction. Pour déterminer des aires, le recours à des instruments reste pertinent.
Une fonction que l'on sait intégrer (à gauche) et une fonction que l'on ne sait pas intégrer (à droite) |
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