Géométrie plane non arguésienne dynamique

Géométrie non arguésienne dynamique implémentée avec CaRMetal

1. Introduction | 2. Plan de Moulton | 3. Aspect affine | 4. Congruences | 5. Implémentation

Dossier proposé par Yves Martin - IREM de La Réunion

« [...] deux figures sont égales quand on peut les superposer ; pour les superposer il faut déplacer l'une d'elles jusqu'à ce qu'elle coïncide avec l'autre, mais comment faut-il la déplacer ? Si nous le demandions, on nous répondrait sans doute qu'on doit le faire sans la déformer à la façon d'un solide invariable. Le cercle vicieux serait alors évident.[É]
Cependant toute imparfaite qu'elle soit, cette définition implique un axiome. La possibilité du mouvement d'une figure invariable n'est pas une vérité évidente par elle-même, ou du moins elle ne l'est qu'à la façon du postulatum d'Euclide et non comme le serait un jugement analytique a priori. D'ailleurs en étudiant les définitions et les démonstrations de la géométrie, on voit qu'on est obligé d'admettre, sans les démontrer, non seulement la possibilité de ce mouvement, mais encore quelques-unes de ses propriétés. »

Poincaré, La Science et l'hypothèse (1902)

Historiquement, l'utilisation du mouvement dans les démonstrations de géométrie a toujours posé problème : depuis Euclide, qui n'y recourt qu'une seule fois au tout début de ses Éléments, en passant par Proclus qui le dénonce, puis les différentes écoles arabes du IX^e au XII^e siècle, certains mathématiciens l'utilisant (al-Haytam), d'autres le refusant (al-Kayyam), jusqu'à Wallis qui l'utilise encore explicitement, le mouvement en géométrie traduit bien l'ambiguïté de la relation entre le monde sensible, sa modélisation, puis - pour les mathématiques - son axiomatisation.

C'est, en particulier, pour résoudre ce « cercle vicieux » comme le dit Poincaré ci-dessus, que David Hilbert, dans ses Fondements de la géométrie, axiomatise les propriétés attendues du mouvement en introduisant des axiomes minimaux de congruence de segments et d'angles.

Parmi les résultats les plus remarquables de son ouvrage, nous allons nous intéresser ici à l'importance du théorème de Desargues pour construire la géométrie euclidienne, et plus particulièrement dans sa dimension de géométrie des coordonnées, c'est-à-dire une géométrie qui permet de construire les nombres et leurs propriétés. Une géométrie qui vérifierait les propriétés usuelles attendues à l'exception du théorème de Desargues serait assez surprenantes par rapport à notre environnement euclidien immédiat et même relativement à une éventuelle culture non euclidienne, qu'elle soit hyperbolique ou elliptique. Hilbert a qualifié de « non arguésienne » une telle géométrie, dans laquelle le théorème de Desargues n'est pas vérifié.

Comme nous allons le voir, cette géométrie ne vérifie pas les plus simples de nos représentations géométriques comme les cas d'égalités des triangles. En effet, nous allons nous trouver au sein d'une géométrie affine dans laquelle il n'y a pas de translation, ou si on préfère, avec des translations ne conservant pas les segments. Ainsi, le mouvement le plus élémentaire pour superposer des objets ne conserve pas les grandeurs géométriques de ces objets.

Autrement dit, avec la géométrie non arguésienne, on dispose d'un exemple de géométrie dans laquelle le mouvement n'est pas pertinent pour illustrer la congruence. C'est donc un exemple de géométrie qui illustre parfaitement bien les différents questionnements que l'utilisation du mouvement a pu soulever dans la pratique géométrique.

Pour illustrer cela - et ce n'est pas un paradoxe - nous allons utiliser la géométrie dynamique, sa manipulation directe, l'action sur les figures et donc le mouvement...

Après un travail systématique de Ruth Moufang dans les années 1931-1933, axé sur les fondements dans un contexte projectif, et pour aboutir sur une ouverture algébrique (une extension de la notion d'associativité), la géométrie non arguésienne n'a jamais été beaucoup étudiée, en particulier parce qu'elle ne se prête pas au calcul algébrique et que chaque situation contient systématiquement de nombreux sous-cas. Elle n'a jamais été implémentée en géométrie dynamique car, jusqu'à ces dernières années, les logiciels n'offraient pas encore les outils permettrant une implémentation aisée du modèle le plus simple connu: le plan de Moulton.

La situation a changé, en particulier avec le logiciel CaRMetal qui va nous permettre d'étudier la géométrie du plan de Moulton d'une manière dynamique.

Ce travail pourra servir en formation initiale - ou continue - et montrer, à l'occasion de compléments de géométrie ou de l'utilisation d'un logiciel, l'importance de l'invariance des grandeurs par un déplacement dans notre modélisation géométrique, notamment en quoi, dans un contexte affine, cette invariance est liée à la propriété de Desargues.

Dans les pages suivantes, on fait appel à l'applet java de CaRMetal. D'environ 1,8 Mo, il peut nécessiter du temps lors du premier chargement.

Les macros utilisées sont téléchargeables en fin de la page 5.

Pour la suite de cette présentation, il peut être utile de se rappeler de la présentation axiomatique de Hilbert telle qu'elle apparaît dans ses Fondements à partir de la 7^e édition. Nous la rappelons ici avec quelques commentaires de Paul Rossier, auteur de l'édition critique qui fait référence.

Les axiomes suivants sont accompagnés au fur et à mesure de leurs énoncés des définitions qu'ils permettent (demi-droite, segment ...)

Les axiomes d'incidence : les 8 axiomes d'Hilbert peuvent se résumer aux 5 suivants

I.1. Deux points distincts sont sur une et une seule droite.

I.2. Sur une droite, il y a au moins deux points. Il existe au moins trois points non alignés.

I.3. Trois points non alignés sont sur un et un seul plan.

I.4. Si deux points d'une droite sont sur un plan, tous les points de la droite sont sur ce plan.

I.5. Il existe au moins quatre points non coplanaires. Si deux plans ont un point commun, ils en ont au moins un autre.

On note (AB) l'unique droite passant par A et B.

Les axiomes d'ordre

II.1. Si un point B est entre un point A et un point C, les points A, B, C sont sur une droite et B est aussi entre C et A.

II.2. Étant donnés deux points A et C, il existe au moins un point B sur la droite (AC) qui soit entre A et C.

II.3. De trois points d'une droite, il n'y a pas plus d'un qui soit entre les deux autres.

II.4. Si une droite du plan d'un triangle ne passe par aucun des sommets et rencontre un des côtés, alors elle rencontre l'un des deux autres côtés (axiome de Pasch).

Les axiomes de congruence

Les axiomes de ce groupe définissent la notion de congruence et, par là, celle de déplacement.

Définition : Entre les segments, il existe certaines relations exprimées par les mots congruent ou égal.

III.1. Sur une droite donnée et d'un côté d'un point A donné, il existe un point B tel que le segment AB soit congruent à un segment donné.

III.2. Si deux segments sont congruents à un même troisième, ils sont congruents entre eux.

III.3. Si B est entre A et C, si B' est entre A' et C', si AB et A'B' sont congruents et si BC et B'C' sont congruents, alors AC et A'C' sont congruents.

Le premier axiome introduit la possibilité de report d'un segment (l'unicité de B sera montrée), le deuxième aboutit à ce que la congruence des segments soit une relation d'équivalence et le troisième à la possibilité d'additionner les segmets. Le report d'angles se traite de la même façon. Toutefois, l'unicité de l'angle doit être demandée axiomatiquement, alors qu'elle est démontrée pour les segments, justement par les angles, comme première conséquence de III.4 et III.5 ci-dessous. Par leur définition, les angles sont non concaves et non plats

III.4. Dans un plan donné, et d'un côté d'une demi-droite h donnée, il existe une unique demi-droite k telle que l'angle (h, k) soit congruent à un angle donné.

III.5. Si dans deux triangles ABC et A'B'C', on a les congruences entre les segments AB et A'B', entre les segments AC et A'C' et entre les angles BAC et B'A'C', alors on a aussi la congruence entre les angles ABC et A'B'C'.

Hilbert reprend l'exposé d'Euclide : il définit alors l'angle supplémentaire et l'angle droit comme égal à son supplémentaire. Il montre l'existence des angles droits et leur congruence, (comme Proclus), ainsi que les trois cas d'égalité des triangles. Les derniers théorèmes avant l'axiome des parallèles portent sur la possibilité de bissecter un segment et un angle (avant d'étendre la notion de congruence aux figures planes ou de l'espace).

L'axiome des parallèles

Définition : deux droites coplanaires qui ne se coupent pas sont dites parallèles.

IV. Par un point A extérieur à une droite d, dans le plan déterminé par A et d, il passe au plus une parallèle à d.

Les axiomes de continuité

V.1. Si AB et CD sont deux segments quelconques, il existe un nombre entier n tel que le report du segment CD répété n fois à partir de A sur la demi-droite déterminée par B conduise à un point situé au delà de B.

V.2. L'ensemble des points d'une droite n'est susceptible d'aucune extension dans laquelle soient encore valables les axiomes (II, 1 à 3), (III, 1 à 3) et (V, 1).

Hilbert construit alors une théorie des proportions avec le calcul segmentaire dans laquelle, à partir des théorèmes de Pascal (Pappus affine) et de Desargues, il construit le corps de nombres qui est bien celui que l'on veut grâce aux axiomes de continuité, le second (V.2) assurant la biunivocité de la correspondance entre les points d'une droite et les nombres réels.

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