Nomogramme circulaire de Clark

mercredi 30 septembre 2009
par Alain BUSSER

Comme le multiplicateur de Möbius, le présent nomogramme est formé d’une conique et d’une droite. Mais la conique est un cercle et ses graduations sont données par une représentation paramétrique de celui-ci.

Le cercle unité (privé du point $(-1;0)$ ) peut être décrit par une représentation paramétrique rationnelle :

$\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\ \qquad \\ y=\frac{2t}{1+t^2} \end{array}\right. , t \in \mathbb{R}$

Pour imiter la parabole doublement cotée du multiplicateur de Möbius, on peut représenter le réel $a$ positif par le point de coordonnées $\left( \frac{1-a^2}{1+a^2};\frac{2a}{1+a^2}\right)$ , et le réel $b$ positif par le point de coordonnées $\left( \frac{1-b^2}{1+b^2};-\frac{2b}{1+b^2}\right)$ . Alors la droite joignant ces deux points coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $\left(\frac{1-ab}{1+ab};0 \right)$ . Pour peu que le diamètre des abscisses soit gradué homographiquement, on a ici la base d’un nomogramme circulaire pour la multiplication, que voici, tourné pour que le diamètre soit vertical :

La figure est dynamique dans le sens où il est possible de changer l’échelle de $a$ et $b$ , par le curseur $r$ . En effet il est difficile d’échapper au tassement des graduations, soit en haut, soit en bas.

La version à imprimer est téléchargeable ci-dessous, en pdf.

Le programme Asymptote qui l’a créé est basé sur $r=\frac{10}{3}$ .

//ce script Asymptote est libre, placé
//sous license CeCILL-B (non, pas 2000):
//http://www.cecill.info/licences/Licence_CeCILL-B_V1-fr.html
//auteur: Alain Busser
//Date: Septembre 2009
//
real g,x,y;
real h=0.01,r=10/3;
pair A,B,M,N;
unitsize(8cm);
size(20cm);
pen thin=linewidth(0.2*linewidth());
for(real n=.1;n<=10;n+=0.02){ //arc de cercle de gauche
g=round(n*100)/100;
//graduations sur l'axe des y
if(g==floor(g)){
A=((1+4*h)*(-2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1+4*h)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
B=((1-4*h)*(-2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1-4*h)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
label(scale(0.4)*(string) (g),A,W,black);
} else {
if(2*g==floor(2*g)){
A=((1+2*h)*(-2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1+2*h)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
B=((1-2*h)*(-2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1-2*h)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
}else{
if(10*g==floor(10*g)){
A=((1+h)*(-2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1+h)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
B=((1-h)*(-2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1-h)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
} else {
if(g<5){
A=((1+h/2)*(-2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1+h/2)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
B=((1-h/2)*(-2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1-h/2)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
}
}
}
}
draw(A--B,black+thin);
}


for(real n=.1;n<=10;n+=0.02){ //arc de cercle de droite
g=round(n*100)/100;
//graduations sur l'axe des y
if(g==floor(g)){
A=((1+4*h)*(2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1+4*h)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
B=((1-4*h)*(2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1-4*h)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
label(scale(0.4)*(string) (g),A,E,black);
} else {
if(2*g==floor(2*g)){
A=((1+2*h)*(2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1+2*h)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
B=((1-2*h)*(2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1-2*h)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
}else{
if(10*g==floor(10*g)){
A=((1+h)*(2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1+h)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
B=((1-h)*(2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1-h)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
} else {
if(g<5){
A=((1+h/2)*(2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1+h/2)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
B=((1-h/2)*(2*n/r/(1+(n/r)^2)),(1-h/2)*((n/r)^2-1)/((n/r)^2+1));
}
}
}
}
draw(A--B,black+thin);
}


for(real n=.1;n<=10;n+=0.02){ //diamètre
g=round(n*100)/100;
if(g==floor(g)){
A=(-4*h,((n/r^2)-1)/((n/r^2)+1));
B=(4*h,((n/r^2)-1)/((n/r^2)+1));
label(scale(0.4)*(string) (g),B,E,black);
} else {
if(2*g==floor(2*g)){
A=(-2*h,((n/r^2)-1)/((n/r^2)+1));
B=(2*h,((n/r^2)-1)/((n/r^2)+1));
}else{
if(10*g==floor(10*g)){
A=(-h,((n/r^2)-1)/((n/r^2)+1));
B=(h,((n/r^2)-1)/((n/r^2)+1));
} }
}
draw(A--B,black+thin);
}


for(real n=15;n<=100;n+=5){ //diamètre
g=round(n*100)/100;
if(g%10==0){
A=(-4*h,((n/r^2)-1)/((n/r^2)+1));
B=(4*h,((n/r^2)-1)/((n/r^2)+1));
label(scale(0.4)*(string) (g),B,E,black);
} else {
A=(-2*h,((n/r^2)-1)/((n/r^2)+1));
B=(2*h,((n/r^2)-1)/((n/r^2)+1));
}
draw(A--B,black+thin);
}


M=(0,-1);
N=(0,1);
draw(M--N,black+thin);

for(int n=0;n<=360;n=n+1){
N=(Sin(n),-Cos(n));
draw(M--N,black+thin);
M=N;
}

Documents joints


la figure dynamique


le nomogramme circulaire à agrandir en (...)

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