Le projet de recherche

Présentation synthétique

Contexte et enjeux

Analyse des travaux existants

Objectifs scientifiques

Programme des travaux

Méthodologie

Conséquences attendues

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Objectifs scientifiques

Nos objectifs scientifiques ont déjà été largement explicités dans la rubrique « Contexte et enjeux ». Tentons ici de préciser davantage en quoi ils s'inscrivent dans ceux de l'action concertée.

La première de nos intentions est de mettre en évidence que certains savoirs mathématiques sont beaucoup plus multiformes que ne le laisse supposer l'historiographie traditionnelle. En resituant ces savoirs dans leur contexte social ou local, et en comparant des savoirs distincts, complémentaires ou concurrents portant sur un même objet mathématique, on accède rapidement à une complexité insoupçonnée au premier abord.

C'est ainsi que des documents de mathématiques appliquées du Moyen Âge et de la Renaissance montrent que, au moment même où certains savants sont paralysés par la théorie des rapports de grandeurs du livre V des Éléments d'Euclide et par les problèmes liés à la non-homogénéité des grandeurs géométriques, des astronomes et des ingénieurs calculent très librement avec des nombres mesurant des grandeurs différentes et construisent des courbes par points à partir de tables de valeurs numériques, manifestant par là des pratiques numériques moins éloignées des pratiques actuelles que ce qu'on aurait pu penser.

À l'inverse, lorsque les analystes de la fin du dix-neuvième siècle parviennent à fonder sur des bases rigoureuses les notions de nombre réel et de fonction, il est clair que cela n'entraîne guère, en soi, de modification sensible dans les pratiques numériques des utilisateurs. Il y a donc incontestablement des savoirs pratiques sur les nombres, sur les courbes, sur les fonctions qui ont leur vie propre, leur continuité, qui se transmettent de manière informelle dans les différents corps de métier et qui sont peu affectés par les « crises des fondements » que l'on a pu déceler à tort ou à raison, à certaines époques, du côté des milieux académiques et universitaires.

Un autre exemple crucial est celui des savoirs liés à la notion d'équation différentielle : l'objet « solution » d'une équation différentielle et les pratiques permettant d'expliciter cette solution en un sens acceptable à un moment donné par une communauté donnée sont extrêmement variables. Quoi de commun entre une expression algébrique finie faisant intervenir les éléments d'une classe donnée de fonctions, un algorithme infini convergent ou divergent, une table de valeurs numériques calculées par approximations successives ou par différences finies, une courbe intégrale construite par points au moyen de techniques de calcul par le trait, tracée d'un mouvement continu à l'aide d'un intégraphe, ou encore décrite globalement par certaines propriétés qualitatives ? Par l'étude des représentations mentales et des pratiques calculatoires de certains milieux sociaux jusqu'ici rarement pris en compte, notamment les milieux d'astronomes et d'ingénieurs, on devrait pouvoir éclairer des facettes nouvelles des objets mathématiques traditionnels.

Notre second souci est d'étudier la circulation des savoirs mathématiques à travers des canaux peu étudiés. À cet égard, il semble judicieux de se concentrer sur les milieux d'ingénieurs. On peut se demander tout d'abord comment se faisait la formation mathématique des ingénieurs : dans des universités généralistes ou dans des écoles techniques spécialisées ? Par des mathématiciens ou directement par des ingénieurs ? Dans ce type de formation, on doit s'attendre à trouver des compromis pragmatiques entre la nécessité de diffuser les acquis les plus récents des mathématiques académiques (calcul différentiel et intégral, mécanique analytique, géométrie projective...) et celle de transmettre des pratiques calculatoires immédiatement efficaces sur le terrain, d'où une situation propice à l'identification de savoirs mathématiques d'origines diverses en position d'interaction conflictuelle.

Par ailleurs, la structuration des ingénieurs en branches spécialisées (génie civil, génie maritime, artillerie, mécanique industrielle...) avec chacune ses écoles, ses enseignements et ses publications a conduit à la coexistence de traditions relativement étanches les unes aux autres. Dans une telle situation, la circulation des pratiques mathématiques entre ingénieurs de différentes branches, ou entre ingénieurs de la même branche mais de pays différents, devrait être particulièrement intéressante à étudier. Le cas de la statique graphique, qui naît en France autour de Poncelet, se développe longuement en Allemagne puis en Italie, revient en France à la fin du dix-neuvième siècle et atteint encore plus tardivement l'Angleterre, est un exemple frappant de circulation complexe tributaire des traditions mathématiques nationales, des divers systèmes de formation des ingénieurs et de multiples autres facteurs sociaux. D'autres circulations intéressantes pourraient être également mises en évidence dans la conception, la fabrication et l'utilisation des instruments mécaniques d'intégration.

Un dernier objectif est de rendre justice à la place des objets matériels, en particulier les instruments de calcul, dans le développement des mathématiques. Cette place est naturellement importante chez les praticiens des mathématiques appliquées mais, même si l'on ne s'intéresse qu'à l'histoire des mathématiques académiques, on ne peut négliger cette dimension. Il arrive souvent qu'un théoricien, avant d'exposer abstraitement ses résultats sans référence au processus de découverte, utilise des tables et des instruments (aujourd'hui un ordinateur) pour effectuer des calculs préparatoires, pour explorer numériquement ou graphiquement des cas particuliers, pour effectuer des vérifications sur des exemples. Il serait sans doute fructueux de se pencher davantage sur le cas (dont on connaît déjà quelques exemples historiques) des mathématiciens qui sous-traitent une partie de ces calculs auxiliaires à des étudiants, des collègues retraités ou des bureaux de calcul.

Il ne faut pas oublier non plus que des traités parmi les plus théoriques sont illustrés de figures géométriques complexes suscitant des interrogations : qui a construit ces figures ? L'auteur du traité ou quelqu'un d'autre ? Avec quelle méthode et quels instruments ? Cette question n'est pas aussi anodine qu'il y paraît. Par exemple, dans le traité de Vincenzo Riccati étudié par D. Tournès, il y a des figures montrant des exemples de courbes intégrales d'équations différentielles intégrées à l'aide d'un mouvement tractionnel. Or, l'auteur ne disposait certainement pas des instruments nécessaires au tracé des tractoires à base quelconque et à directrice variable dont il fait la théorie prospective (de tels instruments n'ont pu être fabriqués qu'un siècle et demi plus tard). Il est donc clair que les figures du traité ont été réalisées par une autre méthode, sur laquelle rien ne nous est dit : voilà une situation problématique où l'on trouve des figures construites à l'aide d'autres savoirs que ceux qu'elles sont censées illustrer !

Bien entendu, on ne pourra pas redonner aux instruments la place réelle qu'ils ont occupée sans un important effort patrimonial et muséographique. Lorsqu'il était conservateur du Deutsches Museum, J. Fischer a largement contribué à cet effort en ce qui concerne les instruments mécaniques d'intégration employés au calcul des aires (planimètres et intégraphes). Un objectif précis que nous pouvons nous fixer dans le cadre du projet est d'inventorier les instruments particuliers qui ont été conçus pour l'intégration graphique des équations différentielles : ces instruments, relativement peu nombreux, nous sont actuellement connus par les descriptions qu'on en trouve dans les mémoires et traités d'époque, mais, dans beaucoup de cas, nous ne savons pas si ces instruments ont été réellement fabriqués ni s'il en subsiste aujourd'hui des exemplaires quelque part. Au-delà des musées, une recherche systématique dans les laboratoires des universités et des écoles d'ingénieur devrait porter ses fruits (on sait par exemple que le mathématicien italien Ernesto Pascal a construit ses intégraphes à quelques dizaines d'exemplaires qui ont été acquis au début du vingtième siècle par les laboratoires de mathématiques de diverses universités italiennes). Au passage, on pourrait mener des analyses comparatives sur la place qu'occupaient les laboratoires de mathématiques dans les institutions éducatives des grands pays européens, et préciser dans quelle mesure des travaux pratiques faisant intervenir des instruments de calcul étaient inclus dans la formation des étudiants et des ingénieurs.