Histoire du calcul graphique et grapho-
mécanique

Présentation du livre

Chapitre 1. Méthodes graphomécaniques dans l'Antiquité et au Moyen Âge

Chapitre 2. Résolution graphique des équations algébriques

Chapitre 3. Abaques et nomogrammes

Chapitre 4. Statique graphique

Chapitre 5. Instruments graphomécaniques d'intégration

Chapitre 6. Résolution graphique des équations différentielles

Chapitre 7. Historiographie du calcul graphique

Présentation du livre

Écrire un livre sur l'histoire du calcul graphique et graphomécanique, c'est d'abord vouloir combler une lacune manifeste de l'historiographie, puisqu'il n'existe actuellement aucun ouvrage d'ensemble sur ce thème, dans aucune langue. Cela dit, pour préciser les contours d'un tel projet, il convient de situer globalement le calcul graphique par rapport à tout un ensemble de techniques et d'instruments que l'on regroupe sous le vocable de « calcul analogique ».

Dans n'importe quel problème de calcul numérique, il y a des nombres qui sont donnés au départ et des équations qui lient ces données à d’autres nombres inconnus : les résultats que l’on cherche. Ce schéma recouvre des situations très variées, depuis le simple calcul du produit de deux nombres jusqu’à des calculs astronomiques pouvant mobiliser plusieurs personnes pendant plusieurs années. Le calcul numérique direct, à la main et aux tables de logarithmes, est souvent long et pénible. Aussi, on a depuis longtemps imaginé des moyens détournés pour obtenir les résultats d’un calcul : l’idée générale est de représenter les nombres par des grandeurs géométriques (longueurs, aires, volumes, angles) ou physiques (mécaniques, électriques, hydrauliques, chimiques), et d’exploiter des phénomènes géométriques ou physiques dont la modélisation mathématique conduit aux mêmes équations que celles que l’on a à résoudre. Cela va se traduire souvent par la réalisation d’un appareil que l’on va placer dans une configuration initiale correspondant aux données et que l’on va faire fonctionner de sorte à lire directement, à la fin, les grandeurs résultantes correspondant aux résultats numériques cherchés. Quand on calcule directement sur les nombres, on parle de calcul « digital » ; si l’on passe par l’intermédiaire de grandeurs géométriques ou physiques, on parle de calcul « analogique ».

À la fin du XIXe et au début du XXe siècle, il y a eu un foisonnement de recherches pour mettre au point des instruments de calcul analogique reposant sur des phénomènes physiques. Par exemple, pour résoudre les équations algébriques, on a imaginé divers systèmes de balances, mécaniques ou hydrostatiques. Dans la même veine, on pourrait citer quelques appareils curieux pour les équations différentielles, comme des intégrateurs hydrauliques ou chimiques. Si de tels appareils relèvent en partie de l’anecdote, plus importante pour l’histoire du calcul est l’analogie fondamentale entre systèmes mécaniques et circuits électriques. Chacun se souvient certainement de la masse suspendue à un ressort et du circuit RLC que l’on étudie au lycée. Dans les deux cas, on obtient la même équation différentielle du second ordre à coefficients constants : l’analogie est parfaite. À partir de là, on conçoit qu’on puisse étudier le mouvement d’un système mécanique en le modélisant par un circuit électrique. Plus généralement, n’importe quelle équation différentielle du second ordre à coefficients constants, qu’elle soit d’origine abstraite ou issue d’un problème matériel, pourra elle aussi être résolue à l’aide d’un circuit électrique. Cette idée est à la base des calculateurs analogiques électroniques qui ont connu une époque florissante, surtout en Grande-Bretagne et aux États-Unis, entre 1930 et 1975. Dans ces calculateurs, les nombres sont représentés par des tensions. Une fois qu’on a mis au point des circuits élémentaires réalisant les opérations mathématiques usuelles (multiplication par une constante, intégration, dérivation, addition...), il suffit ensuite de combiner ces circuits de base pour pouvoir effectuer n’importe quel calcul faisant intervenir des équations algébriques ou différentielles. Ces circuits peuvent même être incorporés à des appareils divers (radars, avions, appareils électroménagers ou audiovisuels...), dans lesquels ils réalisent automatiquement, de manière interne, les calculs nécessaires. Cependant, depuis quelques années, les calculateurs analogiques ont disparu au profit de calculateurs digitaux. Tout, qu’il s’agisse d’images ou de son, est représenté par des suites de 0 et de 1. On parle de photo numérique, de son numérique, etc. On dit souvent qu’on est entré dans l’ère du « tout-numérique ».

La partie du calcul analogique qui repose sur des propriétés géométriques est ce que l’on appelle le « calcul graphique et graphomécanique ». C'est la partie qui reste strictement interne aux mathématiques, en ce sens qu’elle est fondée sur l’interaction entre les deux grands types d’objets mathématiques que sont les nombres et les figures, autrement dit l’algèbre et la géométrie. Le calcul graphique est à situer dans une longue tradition de construction géométrique des problèmes qui remonte à l’Antiquité. Dans cette tradition, résoudre un problème, c’est donner une construction géométrique de sa solution à partir d’intersections de courbes que l’on trace sur le papier à l’aide de divers instruments. C’est pour cela que les mathématiques grecques et arabes se sont, dans une certaine mesure, organisées autour de la classification des courbes utilisées pour la construction des problèmes. La classification qui a prévalu quasiment jusqu’à l’époque de Descartes est celle qui a été formulée par Pappus au IVe siècle. Pappus distingue trois types de problèmes : 1) les problèmes plans, que l’on peut construire en n’employant que des lignes droites et des cercles (autrement dit, les problèmes constructibles à la règle et au compas) ; 2) les problèmes solides, qui font intervenir en plus les sections coniques ; 3) les problèmes linéaires, qui nécessitent de recourir à d’autres courbes que les droites, cercles et coniques.

La construction des problèmes va être grandement renouvelée par Descartes, qui fait paraître en 1637 un petit livre sur la Géométrie en annexe de son fameux Discours de la méthode. Tout d’abord, Descartes précise les liens entre la géométrie et les nombres. Il établit une correspondance, une analogie, une sorte de dictionnaire entre les opérations algébriques et les constructions géométriques. Cela lui permet d’utiliser l’algèbre au service de la géométrie : les problèmes géométriques sont ramenés à des équations algébriques, ce qui fait apparaître l’algèbre comme un outil pour découvrir de nouvelles constructions géométriques qui étaient restées cachées aux Anciens. Mais le dictionnaire fonctionne également dans l’autre sens : en représentant les nombres par des segments de droite, on peut résoudre géométriquement des équations algébriques et, en particulier, calculer graphiquement leurs solutions. Poussant sa réflexion plus avant, Descartes propose une nouvelle classification des courbes qui va peu à peu supplanter celle de Pappus. Descartes distingue, d’une part, les courbes qui admettent une équation algébrique et qu’il appelle « courbes géométriques », et, d’autre part, les courbes restantes, regroupées dans une catégorie par défaut, celle des « courbes mécaniques ». Dans notre vocabulaire actuel, ces lignes sont respectivement appelées « algébriques » et « transcendantes ». Descartes pressent, sans pouvoir le justifier complètement, que les courbes géométriques sont aussi celles qui peuvent être tracées d’un mouvement continu unique. Il a imaginé lui-même des instruments permettant d’aller au-delà des problèmes plans, notamment un trisecteur d’angle et un mésolabe généralisé pour insérer un nombre quelconque de moyennes proportionnelles entre deux longueurs (en particulier, ce dernier instrument réalise l’extraction des racines n-ièmes).

Mais il n’y a pas que les courbes algébriques. En 1693, Leibniz lance l’idée qu’il faut adjoindre un élément physique aux procédés classiques de construction pour pouvoir accéder aux courbes transcendantes, celles qui, selon lui, ont été injustement rejetées par Descartes. Une possibilité parmi d'autres est de recourir au mouvement tractionnel, c’est-à-dire au mouvement de l’extrémité libre d’un fil qui est posé sur un plan horizontal et dont on tire l’autre extrémité avec la main. Leibniz décrit, à partir de là, le principe d’une sorte d’intégraphe universel, à savoir un appareil reposant sur un fil que l’on tire le long d’une courbe donnée et dont la longueur variable est déterminée par une autre courbe auxiliaire. En choisissant convenablement les deux courbes, on doit être capable de résoudre n’importe quel problème inverse des tangentes. À la suite de Leibniz, on assiste ainsi à un nouvel élargissement de la géométrie. Désormais, toute courbe va pouvoir être tracée d’un mouvement continu à l'aide d'un instrument adéquat, et donc va pouvoir servir au calcul graphique. En fait, c’est surtout à la fin du XIXe siècle et au début du XXe, grâce aux progrès de la technologie, que de nombreux instruments mécaniques de précision vont être réalisés : des systèmes articulés pour tracer les courbes algébriques, des planimètres pour calculer l’aire enclose dans un contour fermé et des intégraphes pour construire la courbe intégrale d’une courbe donnée. Au total, l’ingénieur finira par disposer d’une collection complète de mécanismes élémentaires permettant d’effectuer tous les calculs mathématiques courants, qu’ils soient algébriques ou transcendants. Grâce à cela, on verra fleurir, à partir des années 1920-1930, un calcul analogique graphomécanique de grande envergure. En particulier, de grands analyseurs différentiels ont été fabriqués pour résoudre les équations différentielles apparaissant avec le développement de l’électricité et du téléphone. Pendant et juste après la Seconde Guerre mondiale, ces analyseurs différentiels graphomécaniques ont été en compétition avec des analyseurs différentiels électromécaniques, puis électroniques. On sait que les appareils électroniques l’ont emporté, avant d’être balayés à leur tour par le calcul digital.

Comme on le voit, le champ d’intervention du calcul graphique est vaste, ses instruments sont variés, ses racines sont anciennes. À partir de la fin du XVIIIe siècle, ce calcul va s’organiser en une discipline autonome, avec ses spécialistes, ses traités, ses enseignements, et cette discipline va être florissante jusque dans les années 1970. À côté du calcul par le trait général, trois sous-spécialités bien identifiées se sont même créées progressivement : la statique graphique, l’intégration graphique et la nomographie. C'est ce vaste domaine, au confluent des savoirs des mathématiciens et des pratiques des ingénieurs, que notre livre se propose d'explorer méthodiquement.