Les instruments du calcul savant > Instruments d'intégration conservés au musée des arts et métiers |
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Planimètre mécanique à cheveux (1) Planimètre mécanique à cheveux, système Beuvière
Planimètre no 6 d'A. Beuvière, CNAM 06710-0000
Planimètre mécanique à cheveux (2) Planimètre mécanique à cheveux, système Beuvière
Planimètre no 17 d'A. Beuvière, CNAM 06246-0000 Une méthode courante d'approximation pour déterminer l'aire des figures irrégulières, remontant au XVIIe siècle, reposait sur l'emploi des planimètres dits « à cheveux ». Ils sont fondés sur le raisonnement suivant : Si la surface à mesurer est recouverte de fines lignes verticales étroitement espacées, ces lignes forment des sous-figures. Ces sous-figures peuvent être considérées comme trapézoïdales lorsque les petits côtés qui les bordent, à savoir des petits arcs de la courbe de contour, sont assimilés à des segments de droite. La longueur b de la médiane entre deux lignes verticales sera la largeur d'un tel trapèze T et la distance h entre deux lignes adjacentes sera sa hauteur. Si n + 1 lignes recouvrent la surface et la divisent en n trapèzes Ti (1 ≤ i ≤ n), l'aire de Ti sera bi · h, et cela fournira une approximation (en général très bonne) de l'aire de la sous-figure correspondante. La somme des aires de toutes les sous-figures donne l'aire cherchée : ainsi, la somme des aires bi · h de tous les trapèzes Ti constitue une bonne approximation de cette aire. Comme b1 · h + b2 · h + … + bn · h = (b1 + b2 + … + bn) · h, il suffit d'ajouter les longueurs bi et de multiplier leur somme par h. Un planimètre à cheveux se présente habituellement sous la forme d'un cadre rectangulaire, recouvert dans une direction par des fils parallèles très fins et équidistants (comme dans un clavecin ou dans une harpe). Pour ces fils, on utilisait souvent du crin de cheval. Au XIXe et au XXe siècles, des lignes très fines étaient marquées (ou gravées) sur un matériau transparent. (Ces descriptions expliquent les noms de planimètre à cheveux, planimètre-harpe, etc.) Un compas de mesure était employé pour relever les médianes b1, … bn des trapèzes et pour les ajouter graphiquement sur une ligne droite. Le résultat de cette addition était alors multiplié par la valeur de h, connue de l'utilisateur de l'instrument. Au début du XIXe siècle apparut l'idée de mécaniser la mesure et l'addition des médianes. Le premier instrument de ce type fut probablement le "Flächenberechnungs-Maschine von Zobel und Müller" ("Instrument de calcul des aires de Zobel et Müller") de 1814. Tous les instruments de cette catégorie, à laquelle appartient le planimètre mécanique à cheveux d'A. Beuvière (18xx-1xxx ; instrument inventé en 1844 et publié en 1845), utilisent une roulette de mesure à la place du compas. La roulette est placée sur le papier où est dessinée la figure, déroulée le long de la première médiane, soulevée et déplacée parallèlement à elle-même d'une distance h jusqu'à la deuxième médiane, replacée en contact avec le papier au point de départ, etc. La roulette de mesure - plus précisément : le nombre U de ses tours, multiplié par la longueur u de sa circonférence - enregistre ainsi la somme de tous les bi. Le produit U · u · h fournit l'approximation cherchée. Comme u et h sont des constantes de l'instrument, leurs valeurs peuvent être incorporées dans les échelles de graduation, qui donnent alors directement le résultat de la mesure de l'aire dans l'unité voulue (par exemple : cm2, square inches, etc.). |
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