Les instruments du calcul savant > Instruments d'intégration conservés au musée des arts et métiers

Mechanisiertes Haarplanimeter (1)

Mechanisiertes Haarplanimeter, System Beuvière
Hersteller: E. F. Hamann, Paris; Instr.-Nr. 6; Baujahr: um/vor 1855 (geschätzt)
Standort: CNAM, Inv.-Nr. 06710-0000-
Sonstiges: Signiert »Inventé par A. Beuvière« und »N^o 6 Construit par E. F. Hamann, Paris«. Zugang CNAM: 1858
Literatur: Cat. CNAM 1905, 155, Cat. CNAM 1942, 129

Planimeter Nr. 6 von A. Beuvière, CNAM 06710-0000

Mechanisiertes Haarplanimeter (2)

Mechanisiertes Haarplanimeter, System Beuvière
Hersteller: Niggl, Paris; Instr.-Nr. 17; Baujahr 1855
Standort: CNAM, Inv.-Nr. 06246-0000-
Sonstiges: Signiert »Niggl, à Paris« und »Instrument pour évaluer mécaniquem^t la surface des plans // dit PLANIMÈTRE SOMMATEUR (N^o 17) par M^r A. BEUVIÈRE // Ancien Géomètre en chef du Cadastre / prof^r à l'école du Conserv^re des arts et métiers«. Zugang CNAM: 1855
Literatur: Cat. CNAM 1905, 155

Planimeter Nr. 17 von A. Beuvière, CNAM 06246-0000

Eine vermutlich schon auf das 17. Jahrhundert zurückgehende Näherungsmethode, um unregelmäßig berandete Flächeninhalte bestimmen zu können, war die Verwendung von sogenannten Haarplanimetern. Sie beruhen auf folgender Überlegung:

Überzieht man die zu messende Figur mit eng nebeneinander liegenden vertikalen Linien gleichen Abstands, so werden von diesen Linien Teilfiguren gebildet, die fast Trapeze sind, wenn man die kleinen Stücke, die von der Randkurve beigesteuert werden, als gerade ansieht. Die Länge der Mittellinie zwischen zwei Linien ist also die Breite b eines solchen Trapezes T, und der - für alle Trapeze gleiche - Abstand h der Linien ist seine Höhe. Werden z. B. durch n + 1 Linien, deren konstanter Abstand zueinander h sei, n Trapeze T_i (1 ≤ i ≤ n) mit den jeweiligen Breiten b_i gebildet, so ist die Fläche des i-ten Trapezes gleich b_i · h, und dieser Wert stellt eine (gute) Näherung für die Teilfigur dar. Die Summe der Flächen aller Teilfiguren ergibt die Gesamtfläche, also ergibt die Summe der Flächen b_i · h aller Trapeze T_i eine (gute) Näherung für die Gesamtfläche. Weil

b₁ · h + b₂ · h + … + b_n · h = (b₁ + b₂ + … + b_n) · h

ist, reicht es, zunächst nur die Längen b_i zusammenzuzählen und anschließend dann erst mit h zu multiplizieren.

Ein Haarplanimeter war dementsprechend ein meist rechteckiger Rahmen, in dem in einer Richtung dünne Fäden in gleichem Abstand und parallel zueinander - wie bei einer Harfe - gespannt waren. Oftmals wurde wurde als Material der Fäden Roßhaar gewählt. Im 19. und 20. Jahrhundert ging man schließlich dazu über, gleichabständige Linien auf durchsichtiges Material aufzubringen oder zu ätzen. (Aus diesen Beschreibungen erklärt sich, wie es zum Namen "Haarplanimeter" kam, aber auch, warum gleichbedeutend die Namen "Fadenplanimeter" oder "Harfenplanimeter" verwendet wurden.) Mit einem Meßzirkel wurden dann die Mittellinien b₁, … b_n der Trapeze abgegriffen, hintereinander abgetragen, und das Ergebnis b₁ + b₂ + … + b_n mit dem natürlich bekannten Abstand h der Fäden multipliziert.

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts kam die Idee auf, das Abmessen und Addieren der Mittellinien zu mechanisieren. Das wohl erste Instrument dieser Art ist die "Flächenberechnungs-Maschine von Zobel und Müller" aus dem Jahr 1814. Alle diese Instrumente, zu denen auch das mechanisierte Haarplanimeter von A. Beuvière (18xx-1xxx) zählt, verwenden statt des Meßzirkels nun eine Meßrolle, die am Anfangspunkt jeder Mittellinie abgesenkt wird. Man befährt die Mittellinie, hebt die Meßrolle wieder ab, versetzt den Rahmen, in dem sich die Meßrolle befindet, um die Streifenbreite h, führt die Meßrolle auf den Anfang der nächsten Mittellinie, senkt sie ab, usw. Am Ende liefert die Meßrolle (genauer: ihre Umdrehungszahl U, multipliziert mit ihrem Umfang u) die Summe über alle b_i. Das Produkt U · u · h liefert dann den gesuchten Näherungswert.