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Comme le précise l'introduction des deux documents d'application des programmes : «Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l'école élémentaire et faire l'objet d'une pratique régulière dès le cycle 2».

Nous avons voulu illustrer ici la continuité de l'apprentissage du calcul réfléchi d'une soustraction sur l'ensemble du cycle 2 (CP et CE1). Essentiellement écrit, puis verbalisé, s'appuyant sur un "calcul sur les objets", il pose le socle nécessaire au calcul mental d'une soustraction au cycle 3.

On montrera aussi que le calcul réfléchi nécessite une intuition des nombres se basant sur les connaissances numériques en construction, ainsi qu'une part d'intuition et de choix.

Les choix didactiques proposés par Rémi Brissiaud rendent compte des possibilités de calcul réfléchi au cycle 2. C'est ceux que nous avons suivis.

En effet, on ne calcule pas de la même façon 87-66 et 74-6. En jouant sur l'écart entre les nombres on va mettre en évidence, sur un matériel adapté, deux procédures différentes qui fondent le concept de soustraction.

Plus généralement, pour Rémi Brissiaud, c'est une économie cognitive dans l'équivalence de gestes mentaux différents qui fondent de sens des opérations. Il écrit ainsi, à propos de la soustraction, dans le livre du maître de CE1 :

« C'est parce qu'une culture a intérêt à ne pas laisser perdre de tels phénomènes d'économie cognitive que cette équivalence a été dûment étiquetée par une étiquette verbale (le signe écrit « - » et mot « soustraction »), parce qu'ainsi la rencontre de l'un des deux gestes rappelle immédiatement l'autre (via l'étiquette) ce qui favorise la substitution d'un geste mental à l'autre »

Ce qui est présenté dans ces pages s'inscrit dans son analyse de l'arithmétique à l'école primaire, analyse qu'il a présenté lui-même en ces termes il y a quelques années (17 Mo - 13 min)

Les deux séances proposées ici sont la mise en oeuvre de la fin de la conférence précédente.

«C'est en amenant les enfants à "mentaliser" un calcul sur les objets structurés (les billes organisés dans une file de boîtes
de Picbille) qu'on les aide vraisemblablement le mieux à s'approprier ces procédures de calcul mental».
J'apprends les maths" - Livre du maître - CE1

Rappel de la pratique préalable en CP qui prépare le travail proposé ici

CP1 - Apprentissage de la soustraction au CP, dans la méthode Tchou : utilisation d'un cache dont le fonctionnement précède les méthodes "en avançant" et "en reculant".

(2 min 44 s - 14,4 Mo)

CP2 : Séance d'entraînement, avec correction au tableau pour valider collectivement les procédures.

(2 min 10 s - 19,4 Mo)

CP3 - Exemples de procédures d'organisation réfléchie des "calculs" par d'autres manipulations du cache que les règles usuelles.

(2 min - 11 Mo)

CP4 - La soustraction en fin de CP, avec les nombres jusqu'à 20.

(2 min 54 s - 14 Mo)

Première séance en CE1

S1a - Présentation du matériel collectif utilisé : représentation des boîtes de Picbille.

(2 min - 11 Mo)

S1b - Première méthode pour "faire" 46-39 : le premier élève qui vient au tableau fait naturellement la méthode en avançant. Nous analysons pourquoi la mise en situation et le matériel semble favoriser cette démarche pourtant non naturelle.

(2 min 40 s - 15 Mo)

S1c - Seconde méthode pour trouver le résultat de la soustraction 46-39. L'élève propose une méthode en reculant, avec une procédure personnelle efficace qui relève d'une démarche de calcul réfléchi.

(2 min 09 s - 13 Mo)

S1d - Premier bilan de la phase collective. Les élèves retiennent la première méthode pour une raison de connexité

(48 s - 5 Mo)

S1e - Second exemple collectif (68-54) pour opérationnaliser la démarche en avançant.

(3 min 19 s - 18,4 Mo)

S1f - Institutionnalisation de la méthode par la flèche "en avançant".

(38 s - 3,7 Mo)

S1g - Premiers travaux d'élèves (61-54).

(2 min 24 s - 11 Mo)

S1h - Deuxièmes travaux d'élèves.

(3 min 20 s - 18,8 Mo)

S1i - Troisième exemple (avec une méthode personnelle inspirée par les nombres en jeu).

(2 min 41 s - 12,7 Mo)

S1j - "Peux-tu les rayer autrement ?" La question était conceptuelle, elle fut comprise comme opérationnelle, tout en faisant une concession au maître, concession qui correspond à ce qui est attendu ...

(1 min 34 s - 9Mo)

Troisième séance en CE1 (2° filmée)

S2a - Extrait du travail de soustraction en visualisation mentale des constellations organisées.

(2 min 37 s - 15,2 Mo)

S2b - Réactivation de la méthode vue lors de la semaine précédente.

(1 min 56 s - 10 Mo)

S2c - Passage à la droite numérique. Analyse de ce passage.

(2 min 53 s - 13,4 Mo)

S2d - Premiers travaux d'élèves sur la droite numérique. Visualisation directe des difficultés ou des dysfonctionnements

(4 min 20 s - 24,6 Mo)

S2e - Deuxième exemple de travaux d'élèves. Persistance de certaines difficultés liés à la numération.

(4 min 38 s - 25,3 Mo)

S2f - Correction par un élève de la soustraction précédente.

(1 min 32 s - 8,2 Mo)

S2g - Calcul réfléchi d'une soustraction mobilisant deux dizaines intermédiaires.

(4 min 05 s - 23,7 Mo)

S2h - Correction de la soustraction précédente.

(2 min 20 s - 13,5 Mo)

S2i - Retour à la soustraction en reculant. Exemple d'une procédure personnelle explicitée.

(1 min 42 s - 11 Mo)

S2j - Décomptage et soustraction en reculant.

(55 s - 5,8 Mo)

S2k - Mise en commun sur la soustraction en reculant. Deux élèves viennent proposer au tableau les deux procédures vues dans ces séances.

(3 min 20 s - 17,6 Mo)

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