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Les trilatères à "faisceaux de même type"

En terme de trilatère, un triangle a ceci de particulier qu'il est formé de trois faisceaux A = F(bc), B = F(ac) et C = F(ab) (avec a, b, c les droites opposées aux sommets A, B, C) qui sont de même type : des faisceaux à centre. Il est possible d'étendre bien des notions qui n'existent pas pour les trilatères en général mais qui vont exister pour les trilatères formés de faisceaux de même type.

Sur la figure ci-contre on observe un triangle avec ses médiatrices concourantes - et le cercle circonscrit. On voit aussi les médianes qui permettent de construire leur intersection G.

Déplacer les poignées des droites de façon à ce que les trois faisceaux soient chacun à axe : on voit apparaître ainsi les trois perpendiculaires communes.

Alors les droites précédentes existent à nouveau : les médiatrices sont les axes de symétries des perpendiculaires communes, et elle permettent de définir les milieux du trilatère. Et bien sûr les médianes existent à nouveau.

Autrement dit la propriété d'être les milieux des côtés d'un triangle s'étend à la notion de milieux d'un trilatère dont les faisceaux sont de même type.

La page suivante propose des illustrations d'une justification projective de cette propriété par le plongement projectif des géométries de Bachmann.