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Dans le cadre de ce travail, l'essentiel [de la partie élémentaire] de l'axiomatique de Bachmann a déjà été mis en ligne dans abraCAdaBRI. On trouvera de nombreuses illustrations hyperboliques et elliptiques des axiomes et des premiers théorèmes dans ces pages, à l'IMAG (Grenoble) ou sur le site de l'IUFM (La Réunion).

On se propose, dans ces quelques pages, de présenter des illustrations d'autres aspects moins triviaux qui ont été rédigés plus tard.

Rappel : le chapitre 4 en lien ci-dessus propose une présentation powerpoint qui donne un large premier aperçu de l'axiomatique de Bachmann.

Pour trois droites quelconques a, b, c (un trilatère quelconque) on peut avoir - dans le cas hyperbolique- une situation où les bissectrices ne sont pas en faisceaux (ci-contre il y a 3 perpendiculaires communes différentes). Si on se réfère au plongement de toute géométrie dans un plan projectif, cette situation pose problème.

En fait le plongement projectif invite à s'intéresser à une notion plus générale qui va être celle de point bissecteur : centre de la symétrie centrale qui transforme une droite en une autre - Bachmann parle de Mittelpoint qui est le milieu de 2 point ou le point bissecteur de deux droites.

La généralisation du faisceau de droites est la suivante : Les perpendiculaires communes à deux droites (par exemple PC[ab, bc] ci contre) coupe la troisième bissectrice (Biss(a,c)) en le point bissecteur de ces deux droites (a et c, ci-contre le point I).

Un autre théorème (connu en projectif et qui est vrai aussi dans le cadre général de l'axiomatique de Bachmann) dit alors que les trois points bissecteurs sont alignés comme on le voit sur cette illustration.

(IV.19 p 395 : déplacer les poignées des droites)

On retrouvera une preuve de ces résultats dans les commentaires de Daniel Perrin.