Systèmes de triples de Steiner

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Définition

On appelle système de Steiner S(n,p,t) la donnée d'un ensemble S de n éléments, et d'un ensemble T de ses sous ensembles à p éléments (appelés blocs) tels que chaque partie de S à t éléments est contenu dans un et un seul bloc à p éléments.

Les systèmes de Steiner se rencontrent en thèorie du codage, et sont liés aux premierss groupes sporadiques découverts, les groupes de Mathieu qui sont les groupes d'automorphismes de certains systèmes de Steiner.

On s'intérése ici à un cas paerticulier plus élémentaire, les systèmes de triples de steiner (STS) c'est-à-dire au cas p=3 et t=2. On les notera STS(n)

STS(n) et géométrie finie à n points

Ce cas particulier a une interprétation géométrique immédiate : si on interprète les blocs comme des droites à trois points, la dernière contrainte de la définition, qui veux que 2 éléments quelconques sont dans un seul triple, correspondant à l'axiome d'incidence : par deux points il passe une et une seule droite.

Un premier résultat, datant de 1847 , est dû à Kirkman qui a montré, de manière constructive, qu'un STS(n) existe si et seulement si n est congru à 1 ou à 3 modulo 6. Un second résultat, plus élémentaire, montre que pour un STS(n), il y a n(n-1)/6 triples.

Ainsi - en dehors du trivial STS(3) qui n'a qu'un triple - les trois plus petits systèmes possibles sont STS(7), STS(9) et STS(13). Le premier type a 7 points et 7 droites, le second 9 points et 12 droites et le troisième 13 points et 26 droites.

On montre ensuite qu'à automorphisme prés (permutation conservant les blocs) il n'existe qu'un seul STS(7), qu'un seul STS(9) et deux STS(13). Le premier est une représentation du plan de Fano, le second est une représentation du plan affine à 9 points. Que peuvent représenter STS(13) ?

STS(7) et Fano

D'une manière générale, on représente l'ensemble des n points par les racines n-ième de l'unité. Les droites sont alors représentées par des triangles. L'incidence veux que par deux points il ne passe qu'un seul triangle.

En pratique on cherche les générateurs minimaux du système étudié. Ci-dessous, à gauche, un générateur qui permet de construire, par rotation toutes les droites du plan projectif. Dans la figure de droite, on déplace A et B, la figure construit l'unique bloc (droite) de Steiner contenant A et B.

Relation entre le plan de Fano traditionnel et sa représentation avec les diagrammes des systèmes de Steiner

STS(9) et le plan affine à 9 points

La figure suivante reprend les deux représentations du plan affine Aff(2,3) - page précédente - en y ajoutant un diagramme associé à STS(9). Pour ce dernier, on a retenu une représentation de Burkard Poslter qui propose de prendre un octogone et son centre plutôt qu'un énagone. Il s'en suit que parmi les 12 droites affines, 8 sont représentées par des triangles et 4 par des segments.

On pourrait refaire, avec ce trois construictions, les différentes figures affines euclidiennes de la page sur le plan affine Aff(2,3).

STS(13) - Générateur - Droites - Faisceaux

Il existe deux systèmes de triples de Steiner d'ordre 13, un qui se construit de manière régulière, un second qui sobtient avec des permutations de points, par paires, sur 6 droites du précédent. Seul le premier présente un intérêt d'un point de vue géométrique.

Un STS(13) compte donc 13 points, 26 doites; par chaque poit il passe 6 droites.

a) Un générateur des blocs de STS(13)

b) l'axiome d'incidence : par deux points l passe un unique bloc

c) faisceau des droites issues d'un point

STS(13) comme exemple de plan hyperbolique fini

Il existe plusieurs définitions des plans hyperboliques, en particulier, dans le cas général où il y a une structure d'orthogonalité, par un point il ne passe que deux droites parallèles à une droite donnée.

Dans le cas fini, on se donne une définition plus large. Toutefois pour éviter des situations marginales sans intérêt, on fixe un cadre précis à cette généralisation. Pour cela il faut préciser ce que lon appelle "sous-espace" d'une géométrie.

Un sous espace X d'une géométrie est un ensemble de points tel que si deux points A et B sont dans X, alors la droite (AB) est dans X.

Un couple d''ensembles E de points et D de droites, avec une structure d'incidence usuelle, est dit être un plan hyperbolique si :

i) Par deux points il passe une et une seule droite.

ii) Par un point M n'appartenant pas à une droite d, il passe au moins deux droites passant par M paralléle à d.

iii) Tout sous espace contenant un triangle est le plan tout entier.

Le STS(13) régulier est un représentation d'un plan hyperbolique fini tel que par un point il passe trois parallèles à une droite donnée :

Reste à s'assurer que le point iii) est vérifié. En fait, dans cette configuration, le nombre de droites (6 par points) fait que la reconstruction de l'ensemble de départ à partir des sommets d'un triangle ne pose aucun problème. On peut l'illustrer comme ci-dessous :

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