Le plus petit plan affine euclidien

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Les axiomes des plans affines sont les suivants

1. Deux points sont toujours contenus dans une droite et une seule

2. Etant donné un point n'appartenant pas à une droite, il existe une unique droite contenant ce point et paralléle à cette droite.

3. Il existe au moins trois points non alignés.

Une géométrie qui vérifie ces trois axiomes est dite un plan affine.

Premières propriétés (preuves dans une prochaine mise en ligne, mais se trouvent partout)

Si une droite contient n points alors toutes les droites contiennent n points, et par chaque point il passe n+1 doites. Il en résulte que ce plan a n² points et n²+n droites, réparties en n+1 directions différentes de n droites paralléles chacunes.

Le plan affine est alors dit d'ordre n

Relation avec les structures algébriques

On sait construire un plan affine, à partir d'une structure vectorielle de dimension 2 sur un corps, puis un plan affine euclidien si ce corps est de caractéristique différente de 2. En partant de Z/3/Z, on peut construire le plus petit plan affine euclidien dont nous allons illustrer quelques propriétés.

Tout d'abord remarquons que ce plan a 9 points et 12 droites. Que par chaque point passe trois droites et que chaque droite contient trois points.

Représentation plane et sur le tore

Comme on a une structure affine classique, issue d'un espace vectoriel dans un corps de caractéristique différente de 2, la notion de milieu existe. Or comme il y a trois points par droite, sur une droite chaque point est le milieu des deux autres. Cela se voit particulièrement bien si, au lieu de se placer dans un quadrillage 3x3 on relie les extrémités de ce quadrillage dans les deux dimensons pour en faire un tore.

Voici une illustration de cette représentation sur le tore

Pour les personnes qui découvrent CaRMetal avec cet article, signalons que l'on a ici, dans une même fenètre, à la fois une figure 3D manipulable à la souris en interaction avec une figure 2D manipulable aussi bien entendu, mais indépendante des mouvements 3D, ceci en toute transparence pour l'utilisateur.

Les courbes construites sur le tore ne sont là que pour illustrer cette propriété du plan affine que chaque point est le milieu des deux autres points de la même droite. On notera en particulier que ces tracés paramétriques ne sont pas des géodésiques du tore. Seules les droites de type 2 sont des géodésiques. Dans tous les autres cas, il ne passe pas de géodésique par les trois points M', N' et I' du tore. C'est pour cela qu'une fois cette illustration faite, nous allons abandonner cette image sur le tore pour revenir à la représentation plane.

Les droites du plan affine à 9 points

Reprenons les droites, cette fois en manipulant deux points A et B, avec éventuellement un lien plan pour visualiser les droites :

Milieux et médianes

Puisque nous avons des points et leurs milieux, on peut tout de suite construire les médianes de 3 points.

Signalons que ces figures sont faites avec des macro-constructions dont les 9 points initiaux sont des données implicites.

Bien entendu, l'isobarycentre de 3 points, en caractéristique 3, n'existe pas. Si on le souhaite, on peut encore dire, les médianes étant parallèles qu'il est "envoyé à l'infini" ...

Orthogonalité

Regardons maintenant la structure euclidienne. Par un point il passe 4 droites. Ces droites forment deux paires de directions orthogonales :

Médiatrices dans Aff(2,3)

Enfin sachant tracer à la fois le milieu de deux points et la perpendiculaire à une droite en un point, on peux construire les médiatrices. Elles sont concourantes, et on observera (le point Mob de la figure suivante est fait pour cela en présentation) qu'elles le sont en un point d'un côté qui n'est pas un sommet donc au milieu des deux extrèmités de ce côté. Autrement dit - par Pythagore - tous les triangles de ce plan sont rectangles.

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