INTRODUCTION Même si, d'un point de vue structurel, les plans ou espaces, affines ou projectifs, se construsient naturellement à partir des sutrctures vectorielles sur un corps, on s'incrit ici dans une tradition axiomatique de configurations finies et donc on souhaite avoir une définition d'un espace projectif qui soit, a priori, indépendant des structures de nombres - mais qui recouvre bien entendu la même notion pour récupérer au minimum les exemples usuels classiques. Les axiomes d'un plan projectif sont les suivants 1. Deux points sont toujours contenus dans une droite et une seule 2. Deux droites distinctes ont toujours un unique point d'intersection. 3. Il existe quatres points tels que trois de ces points ne sont jamais alignés. Une géométrie qui vérifie ces trois axiomes est dite un plan projectif. On a vu le plan de Fano comme unique configuratin de type 73. On montre alors qu'il existe un entier n tel que toutes les droites contiennent n+1 points et que par tout point il passe n+1 droites. Le plan projectif est alors dit d'ordre n : il contient n2+n+1 point et autant de droites. C'est une configuration n2+n+1n+1. Les exemple classiques sont les plan projectif PG(2, n) sur un corps à n éléments. Pour n=3, 4, 5, 7 et 8, le plan projectif issu des structures algébrique est le seul qui existe. À partir de n=9 on trouve des plans projectifs d'ordre n ne relevant pas des structures algébriques. Pour aller au dela, et définir des espaces projectifs dont les définitions vont contenir les espaces de toutes dimensions intermédiires, il faut préciser des définitions supplémentaires : En particulier, on doit définir un triangle : un ensemble de trois droites deux à deux sécantes en trois points distincts. Les droites seront dites les côtés du triangle et les points d'intersection ses sommets. Dans ce contexte, Les axiomes d'un espace projectif peuvent alors être les suivants 1. Deux points sont toujours contenus dans une droite et une seule 2. Une droite qui coupe deux côté d'un triangle sans passer par aucun sommet de ce triangle coupe le trosième côté du triangle. 3. Toute droite contient au moins trois points. Une géométrie qui vérifie ces trois axiomes est dite un espace projectif. L'axiome 2 n'est rien d'autre qu'un axiome de Pach fini. C'est lui qui va permettre le processus de construction décrit ci-aprés : Construction des sous espaces d'un espace projectif Les droites de la géométrie sont dites des sous espaces de dimension 1. Pour tout entier m >1 on construit par récurrence les sous espaces de dimension m à partir de ceux de dimension m-1 de la façon suivante :
on considère un sous espace de dimension m-1 et un point qui ne lui appartient pas. Alors le sous espace de dimension m généré par ce point et l'espace de dimension m-1 est la réunion de toutes les droites passant par ce point et un point du sous espace générateur. Si pour une valeur de m, un sous espace de dimension m coïncide avec l'ensemble de la géométrie, on dit que cette géométrie est un espace de dimension m. Ainsi chacun peut vérifier qu'un espace projectif de dimension 2 avec cette définition n'est rien d'autre qu'un plan projectif défini préalablement avec lres axiomes des plans projectifs. De même tout n-sous espace d'un espace projectif est un espace projectif de dimension n. Pour n = 2 on parle alors de sous plan. On montre alors que tous les sous espaces proejctif de dimension donnée d'un espace projectif comporte le même nombre de points. Si n+1 est le nombre de points d'une droite, on dit que l'espace projectif est d'ordre n. De cette façon (mais il faudrait plus détailler bien entendu) on retrouve les espaces projectifs classiques et les structures de sous espaces. En particulier on montrerait que pour m>2 et pour n une puissance d'un nombre premier, il n'existe qu'un seul m-espace projectif d'ordre n. | 