Algèbre

Analyse

GROUPES

• Illustration de la notion de partie génératrice d'un groupe (les généralités sur les groupes seront supposées connues) [fichier pdf, 12 Ko].
• Groupe des permutations d'un ensemble fini ; applications [fichier pdf, 12 Ko].
• Groupes opérant sur un ensemble ; applications [fichier pdf, 12 Ko].

ARITHMÉTIQUE

• Propriétés élémentaires liées à la notion de nombre premier [fichier pdf, 12 Ko].
• PGCD ; théorème de Bézout. Méthodes de calcul [fichier pdf, 12 Ko].

NOMBRES COMPLEXES ET POLYNÔMES

• Propriétés du corps des nombres complexes (la structure de corps étant supposée connue) [fichier pdf, 12 Ko].
• Racines d'un polynôme à une indéterminée sur C. Théorème de d'Alembert. Relations entre les coefficients et les racines [fichier pdf, 12 Ko].
• Applications géométriques des nombres complexes : étude de configurations, de transformations... [fichier pdf, 16 Ko].

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES

• Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang d'une application linéaire [fichier pdf, 12 Ko].
• Endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie [fichier pdf, 12 Ko].
• Matrices carrées inversibles [fichier pdf, 12 Ko].
• Changements de base en algèbre linéaire (applications linéaires, formes bilinéaires...) ; applications [fichier pdf, 12 Ko].

DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES

• Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d'une matrice. Applications [fichier pdf, 12 Ko].
• Déterminants ; applications [fichier pdf, 16 Ko].
• Résolution d'un système linéaire de n équations à p inconnues. Méthodes pratiques de résolution [fichier pdf, 12 Ko].

RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

• Trigonalisation des endomorphismes, sous-espaces caractéristiques ; applications [fichier pdf, 12 Ko].
• Endomorphismes diagonalisables [fichier pdf, 8 Ko].

ESPACES EUCLIDIENS ET HERMITIENS

• Orientation d'un espace vectoriel euclidien de dimension 3 ; produit mixte, produit vectoriel ; applications [fichier pdf, 12 Ko].
• Endomorphismes hermitiens en dimension finie [fichier pdf, 12 Ko].
• Formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien. Applications géométriques (les généralités sur les formes quadratiques seront supposées connues) [fichier pdf, 16 Ko].

GÉOMÉTRIE AFFINE ET AFFINE EUCLIDIENNE

• Barycentres ; applications [fichier pdf, 28 Ko].
• Isométries du plan ; formes réduites ; applications [fichier pdf, 12 Ko].
• Isométries de l'espace affine euclidien de dimension 3 ; formes réduites [fichier pdf, 12 Ko].
• Similitudes planes directes et indirectes ; formes réduites [fichier pdf, 12 Ko].

COURBES PLANES

• Cercles dans le plan [fichier pdf, 12 Ko].
• La parabole dans le plan affine euclidien [fichier pdf, 12 Ko].
• L'ellipse dans le plan affine euclidien [fichier pdf, 16 Ko].
   

SUITES NUMÉRIQUES

• Étude de suites définies par différents types de récurrence [fichier pdf, 12 Ko].
• Étude du comportement asymptotique de suites ; rapidité de convergence [fichier pdf, 16 Ko].
• Approximations d'une solution d'une équation numérique [fichier pdf, 16 Ko].

TOPOLOGIE

• Espaces vectoriels normés de dimension finie ; normes usuelles, équivalence des normes [fichier pdf, 12 Ko].
• Parties compactes de R et fonctions continues ; applications [fichier pdf, 12 Ko].
• Parties connexes de R et fonctions continues ; applications [fichier pdf, 12 Ko].
• Théorème du point fixe pour les contractions d'une partie fermée d'un espace vectoriel normé complet et exemples d'applications [fichier pdf, 12 Ko].

FONCTIONS NUMÉRIQUES D'UNE VARIABLE RÉELLE

• Fonctions convexes d'une variable réelle [fichier pdf, 12 Ko].
• Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable. Exemples. On se limitera aux fonctions numériques définies sur un intervalle de R [fichier pdf, 12 Ko].
• Fonctions monotones d'une variable réelle [fichier pdf, 12 Ko].

CALCUL INTÉGRAL

• Définition de l'intégrale sur un intervalle compact d'une fonction numérique continue. Propriétés [fichier pdf, 12 Ko].
• Calcul approché d'une intégrale définie [fichier pdf, 16 Ko].
• Intégrales dépendant d'un paramètre [fichier pdf, 12 Ko].

SÉRIES NUMÉRIQUES

• Séries à termes réels positifs [fichier pdf, 16 Ko].
• Séries à termes réels ou complexes : convergence absolue, semi-convergence (les résultats relatifs aux séries à termes réels positifs étant supposés connus) [fichier pdf, 12 Ko].

SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS

• Suites de fonctions : divers modes de convergence [fichier pdf, 12 Ko].
• Dérivabilité de la somme d'une série de fonctions de classe C¹. Applications [fichier pdf, 12 Ko].
• Séries entières. Rayon de convergence. Propriétés de la somme [fichier pdf, 12 Ko].
• Définition de l'exponentielle complexe et des fonctions trigonométriques ; nombre pi [fichier pdf, 16 Ko].
• Séries de Fourier [fichier pdf, 12 Ko].

CALCUL DIFFÉRENTIEL

• Équations différentielles linéaires d'ordre 2 : x” + a(t)x' + b(t)x = c(t), où a, b, c sont des fonctions continues [fichier pdf, 12 Ko].
• Fonctions continûment différentiables de deux variables, différentielle, dérivées partielles ; cas des fonctions composées [fichier pdf, 12 Ko].
• Formule de Taylor-Young pour les fonctions de deux variables de classe C². Applications à la recherche d'extremums [fichier pdf, 12 Ko].

PROBABILITÉS

• Espérance, variance, covariance ; loi faible des grands nombres [fichier pdf, 16 Ko].